Zhrnutie teórie

Dve celé čísla a a b sú porovnateľné modulo m ak sa delí podľa m dajú rovnaké zvyšky. Číslo m nazýva sa porovnávací modul.

Ekvivalentné znenie: a a b sú porovnateľné v module m, ak je ich rozdiel a - b deleno m bezo zvyšku, alebo ak a môže byť reprezentovaný ako a = b + k m, kde k- nejaké celé číslo.

Napríklad: 32 a - 10 sú porovnateľné modulo 7, pretože

32 = 7 4 +4 a - 10 = 7 (- 2) + 4,

11 a 21 sú porovnateľné modulo 10, pretože (11 - 21) ,

2 10 (mod8) od (2 - 10) 8

35 27 (mod8) od 35 = 27 + 8 1 .

Vyhlásenie " a a b sú porovnateľné v module m " zaznamenané v

forma: a b ( mod m).

Porovnávacie vlastnosti. Vzťah modulu porovnateľnosti k prirodzenému číslu má nasledujúce vlastnosti:

- reflexivita: pre akýkoľvek celok a fér a a ( mod m).

- symetria: ak a b ( mod m), potom b a ( mod m).

- tranzitivita:

keby a b ( mod m) a b c ( mod m), potom a c ( mod m).

Na základe týchto troch vlastností je vzťah porovnateľnosti vzťahom ekvivalencie k množine celých čísel.

Akékoľvek dve celé čísla sú zhodné modulo 1.

Ak čísla : a a b sú porovnateľné v module m, to je a b ( mod m) a m deleno n, potom a a b sú porovnateľné v module n, to je a b ( mod n) .

Za dve čísla a a b boli porovnateľné v module m , ktorého kanonická faktorizácia je:

m = …. , i = 1,2, ..., d nevyhnutné a dostatočné na to

a b ( mod ), i = 1,2, ..., d.

Ak a b ( mod m 1) a a b ( mod m 2), potom a b ( mod m),

kde m = [m 1, m 2 ].

Porovnania v rovnakom module majú mnoho vlastností obyčajných rovností. Môžu byť napríklad sčítané, odčítané a násobené:

ak čísla a 1, a 2,…, a n a b 1, b 2, ..., b n párovo porovnateľné modulo m , potom ich sumy ( a 1 + a 2 +… + a n) a (b 1 + b 2 + ... + b n ) a funguje

(a 1 a 2 … a n ) a (b 1 b 2 … b n ) sú tiež porovnateľné modulo m .

Ak čísla a a b sú porovnateľné v module m, potom ich stupne a k a b k sú tiež porovnateľné modulo m s akýmkoľvek prírodným k .

Príklad... Pomocou tejto vlastnosti môžete nájsť zvyšok delenia čísel. Nech je potrebné nájsť zvyšok delenia 1234 2327 o 11.

Riešenie. 1234 2327 ... 1234 = 11 112 +2 1234 2 (režim 11), potom podľa majetku dostaneme 1234 2327.

2 10 1 (mod 11) (2 10) 232 1 232 (mod 11) 2 2320 1 (mod 11).

Teraz uvažujme 2 7 = 128 = 11 11 + 7, odkiaľ 2 7 7 (mod 11).

Získali sme 2 2320 1 (mod 11) a 2 7 7 (mod 11). Vlastnosťou súčinu porovnaní jedného modulu získame:

2 2320 1 (mod 11).

Použitím vlastnosti tranzitivity získame

1234 2327 a 1234 2327),

To znamená, že zvyšok delenia 1234 2327 číslom 11 je 7.

Porovnania však nemožno rozdeliť navzájom ani inými číslami. Takže ak 14 20( mod 6) , potom, čo znížime o 2, dostaneme chybné porovnanie 7 10( mod 6) od (7 - 10) nie je deliteľné číslom 6 bezo zvyšku; alebo 24 4 (režim 10) → 6 4 (režim 10), ale porovnanie 6 (režim 10) je nesprávne.

Skratkové pravidlá pre porovnávania sú tieto:

Obe strany porovnania je možné rozdeliť na číslo súbežné s modulom, ak ac bc ( mod m) a ( s; m ) = 1 potom a b ( mod m).

- Obe časti porovnania a modul môžete súčasne rozdeliť ich spoločným deliteľom: ak ac bc ( mod mc), potom a b ( mod m).

Ak sa moduly nezhodujú, nemôžete vykonávať ani uvedené operácie.

Triedy odpočtu... Množina všetkých čísel porovnateľná s a modulo m , sa nazýva trieda zvyškov modulo m a označil .

Takže porovnanie a b ( mod m) rovnať sa = .

Systémy odpočtu... Systém odpočtu umožňuje aritmetické operácie cez konečnú množinu čísel bez toho, aby ste za to šli. Kompletný systém zvyškov modulo m - akákoľvek sada m párovo neporovnateľné modulo m celé čísla. Obvykle ako kompletný systém zvyšky modulo m vezmite najmenšie nezáporné zvyšky 0, 1,…. m - 1 alebo absolútne najmenšie zrážky, ktoré pozostávajú z

čísel 0, 1, 2,…. v prípade nepár m ,

a číslami 0, 1, 2,…. - 1), v prípade párneho m .

Maximálna sada párovo neporovnateľného modula m čísla spoluprispôsobiť m sa volá znížený systém odpočtov modulo m ... Akýkoľvek redukovaný systém zvyškov modulo m obsahuje prvky, tu je funkcia Euler.

Eulerova veta... Pre akékoľvek čísla súbežného použitia platí nasledujúci vzorec: 1(mod m)

Fermatova veta. Ak p je prvočíslo a p nerozdeľuje a potom

a (režim p)

Tieto vety sa používajú aj na nájdenie zvyšku delenia rôznych čísel. [Súbor Mht: Prednášky z teórie čísel, moje práce]

Príklad 1. Deviata mocnina jednociferného čísla končí na 7. Nájdite toto číslo.

Riešenie. je daná hodnota 9 ° 7 (režim 10). Okrem toho je zrejmé, že (7, 10) = 1 a ( a, 10) = 1. Podľa Eulerovej vety a j (10) º 1 (mod 10). Preto je 4 ° 1 (mod 10) a po zarovnaní na hrane 8 ° 1 (mod 10). Termín delíme 9 ° 7 (mod 10) na 8 ° 1 (mod 10) a dostaneme º 7 (mod 10). To znamená, že a = 7.

Príklad 2. Dokážte, že 1 18 +2 18 +3 18 +4 18 +5 18 +6 18 ° -1 (režim 7)

Dôkaz.Čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 sú zhodné s číslom 7. Podľa Fermatovej vety máme:

Srovnajme tieto porovnania a pridajme:

1 18 +2 18 +3 18 +4 18 +5 18 +6 18 º 6 (režim 7) º -1 (režim 7)

Príklad 3. Nájdite zvyšok 7 402 delený 101.

Riešenie.Číslo 101 je prvočíslo, (7, 101) = 1, podľa Fermatovej vety: 7 100 ° 1 (mod 101). Pozdvihnime toto porovnanie na štvrtú mocninu: 7 400 º 1 (mod 101), vynásobte ju evidentným porovnaním 7 2 º 49 (mod 101), dostaneme: 7 402 º 49 (mod 101). To znamená, že zvyšok 7402 delený 101 je 49.

Príklad 4. Nájdite posledné dve číslice 243 402.

Riešenie. Posledné dve číslice tohto čísla sú zvyškom jeho delenia 100. Máme: 243 = 200 + 43; 200 + 43 º 43 (mod 100), a po zvýšení posledného zrejmého porovnania so 402. silou, otvorme jej ľavú stranu podľa Newtonovho koša (mentálne, samozrejme). V tomto gigantickom vyjadrení všetky výrazy, okrem posledného, ​​obsahujú silu 200, t.j. sú deliteľné 100, takže ich môžeme z porovnania vypustiť, potom je zrejmé, prečo 243 402 º 43 402 (mod 100). Ďalej je 43 a 100 koprime, preto podľa Eulerovej vety 43 j (100) º 1 (mod 100). Uvážime:

j (100) = j (2 2 × 5 2) = (10–5) (10–2) = 40.

Máme porovnanie: 43 40 º 1 (mod 100), ktoré okamžite zvýšime na desiatu mocninu a vynásobíme ju čas od času evidentným porovnaním skontrolovaným na kalkulačke: 43 2 ° 49 (mod 100). Dostaneme:

,

posledné dve číslice 243 402 sú teda 4 a 9.

Príklad 5. Dokážte, že (73 12 -1) je deliteľné 105.

Riešenie. Máme: 105 = 3 × 5 × 7, (73,3) = (73,5) = (73,7) = 1. Podľa Fermatovej vety:

73 2 ° 1 (režim 3)
73 4 º 1 (režim 5)
73 6 ° 1 (režim 7)

Násobením dostaneme:

73 12 º 1 (režim 3), (režim 5), (režim 7),

z toho, podľa vlastností porovnaní uvedených v odseku 16, bezprostredne vyplýva:

73 12 -1 ° 0 (mod 105),

105 je najmenší spoločný násobok 3, 5 a 7. Presne to sa vyžadovalo.

Príklad. Musíte nájsť zvyšok delený číslom 5.

Riešenie. r (režim 5).(12; 5) = 1; trať. 12 a 5 sú číselné súčty podľa Eulerovej vety 1 (mod 5); = 4 1 (režim 5);

Ale 2751 = 4687 + 3;

potom (12 4) 687 1 687 (režim 5) 12 2748 1 (režim 5) a 12 2 (režim 5) 12 3 2 3 (režim 5) Možnosť 7. 99 ° 11 (režim 4); Možnosť 8.1347

Možnosť 20. 11 203; Možnosť 21.7302; Možnosť 22.6 32.

Úloha 4. Nájdite zvyšok delenia čísla a n od m:

Možnosť 1. 20 11, m = 9; Možnosť 2.383175, m = 45; Možnosť 3. 109 345, m = 14;

Možnosť 4,439 291, m = 60; Možnosť 5,293 275, m = 48; Možnosť 6. 93 41, m = 111;

Možnosť 7. 3 80, m = 11; Možnosť 8. 20 17, m = 9; Možnosť 9.3200, m = 101;

Možnosť 10,11 65, m = 80; Možnosť 11,7 402, m = 101; Možnosť 12,13 88, m = 89;

Možnosť 13,3157, m = 100; Možnosť 14. 15 231, m = 16; Možnosť 15.208208, m = 23;

Možnosť 16. 13 88, m = 89; Možnosť 17.11 65, m = 80; Možnosť 18,66 17, m = 7;

Možnosť 19,117 53, m = 11; Možnosť 20. 11 1841, m = 7;

Úloha 5. Nájdite zvyšok delenia sumy na m:

Možnosť 1,3 80 + 7 80, m = 11; Možnosť 2. 3 100 + 5 100, m = 7;

Možnosť 3. 2 100 +3 100, m = 5; Možnosť 4. 5 70 +7 50, m = 12;

Možnosť 5. 12 1231 + 14 4324, m = 13; Možnosť 6. 7 65 + 11 65, m = 80;

Možnosť 7,3 200 + 7 200, m = 101; Možnosť 8. 5 80 + 7 100, m = 13;

Možnosť 9,5 70 + 7 50, m = 12; Možnosť 10,13 100 + 5 50, m = 18;

Možnosť 11,3 80 + 7 80, m = 11; Možnosť 12. 2 100 + 3 100, m = 5;

Možnosť 13,3 80 + 7 80, m = 11; Možnosť 14. 3 100 + 5 100, m = 7;

Možnosť 15,3 80 + 7 80, m = 11; Možnosť 16. 3 100 + 5 100, m = 7;

Možnosť 17,2 100 +3 100, m = 5; Možnosť 18,5 70 +7 50, m = 12;

Možnosť 19. 12 1231 + 14 4324, m = 13; Možnosť 20. 7 65 + 11 65, m = 80;

PRAKTICKÁ LEKCIA č. 6

Systémy odpočtu

Otázky k lekcii:

Dnes 22. 9. 17 prišiel rad na úplné vydanie mobilná verzia Minecraft 1.2! Prečo iba Minecraft? A nie Minecraft PE, ako sme tomu hovorili. Áno, pretože vývojári hry sa rozhodli zmeniť názov a teraz existujú pre hru dva názvy rovnakého typu, jeden pre počítač, druhý pre mobilné zariadenie... Ale ak sa pozrieme bližšie, všimneme si, že existuje nový názov, ktorý v preklade znamená „Viac zábavy spolu“. Táto fráza kombinuje niekoľko operačných systémov naraz: Prepínač IOS, Android, Windows a Xbox a Nintendo.

S vydaním 1.2.0 bolo v hre vykonaných veľa zmien, ktoré pokrývajú celú starú verziu. Vývojári sa rozhodli, že teraz s každým Nová verzia Minecraft bude ešte kompatibilnejší s inými systémami.

Zásadné zmeny

• Verzia 1.2 je veľmi vhodná pre začiatočníkov, pretože teraz, pred spustením hry, musíte prejsť návodom.
• Objavila sa kniha. Na rozdiel od počítačová verzia, tu si môžete prečítať dve strany naraz.
• Pridaná bonusová truhlica so zdrojmi potrebnými na prežitie na začiatku hry.
• Objaví sa pancierový stojan, je to najočakávanejšia inovácia.
• Hlboké kaňony so zdrojmi, ktoré potrebujete.
• Svetlé a zaujímavé papagáje.
• Gramofón so záznamami.
• Pridané vlajky.
• Nové úspechy.

Stiahnite si Minecraft 1.2 [plná verzia]

Vo verzii 1.2.13 opravené chyby v rozhraní, grafike, príkazoch. S davmi súvisí veľa pekných zmien. Opravili sme veľa chýb v hre a veľa sme ich vylepšili. Opravené pády na rôzne zariadenia... Už žiadne identifikátory blokov! Verzia 1.2.13 nefunguje na Xbox Live !

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.13 ORIGINAL (Android 4.2+)

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.13 ORIGINAL (X86 / Android 4.2+)

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.13 Mod (Android 4.2+)

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.10 ORIGINAL (Android 4.2+)

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.10 ORIGINAL (X86 / Android 4.2+)

C Poštové mraky Stiahnite si Minecraft PE 1.2.10 Mod (Android 2.3.6+)

Vo verzii 1.2.10 opravených veľa chýb a niekoľko nových malých zmien. Stabilná verzia, funguje všade!

Pod nevybavené veci porozumieť počtu dielov v procese výroby, ktoré sú na výrobnej linke počas spracovania.

Existujú štyri typy nevybavených položiek:

1. Technologické.

2. Doprava.

3. Poistenie.

4. Reverzný (vytvorený na priamke).

Pod technologické základy (Z tech) porozumieť častiam (obrobkom), ktoré sú na pracovisku počas spracovania:

V prípade kusového prenosu

- pri prevode v prenosových dávkach.

Pod nevybavený transport (transport Z) porozumieť častiam (obrobkom), ktoré sa práve prepravujú medzi pracoviskami:

- s kusovým prenosom,

- pri prevode prenosovou dávkou.

Pod backlog poistenia (Z stránka) porozumieť určitému skladu dielov, ktoré je možné vytvoriť pri určitých operáciách, aby sa zaistila nepretržitá prevádzka linky v prípade nehody alebo oneskorenia príjmu dielov z predchádzajúcich výrobných oblastí.

Sumu nevybavených poistiek je možné určiť podľa vzorca

Z p =, (2,11)

kde Tper - priemerný možný čas zdržania pri prijatí dielov.

Pod medzioperačné nevybavené záležitosti (Ztax 1-2) porozumieť počtu dielov (obrobkov), ktoré sa nahromadia alebo spotrebujú medzi susednými operáciami v súvislosti s rôznym pracovným výkonom v susedných operáciách.

Aby sa minimalizovalo množstvo nevybavených prác, mal by sa premyslený režim prevádzky strojov na trati stanoviť na základe harmonogramu zostaveného na určité obdobie (napríklad na hodinu, pol smeny alebo za smenu).

Pri vypracúvaní regulácie harmonogramu by sa mala venovať osobitná pozornosť výberu obdobia obratu (údržby) trate. Obdobie obratu (údržba) linky je časové obdobie, počas ktorého sa dosiahne rovnosť uvoľnenia dielov pre všetky činnosti linky, a pracovník dokončí celý cyklus servisu jemu priradených strojov.

Interoperačné pracovné nevybavené objednávky sa vypočítavajú na základe harmonogramu a predpisov pre prácu na priamom toku. Maximálna hodnota medzioperačného nevybavenia je stanovená vzorcom

Zmax 1-2 = -, (2,12)

kde TP - doba práce na susedných prevádzkach s konštantným pomerom pracovných strojov;

C 1 a C 2 – počet strojov pracujúcich na susedných prevádzkach v danom období TP;

t 1 a t 2- trvanie susedných operácií.

Ak je množstvo pracovného nevybaveného výsledku doručené so znamienkom plus, znamená to, že sa počas tohto obdobia akumuluje nevybavený. Znamienko mínus naznačuje, že počet nevybavených položiek sa znižuje.

Problémy s riešením

Úloha 2.1. Technologický proces spracovania súčiastky na priamej linke zahŕňa päť operácií. Zloženie operácií a časové normy pre operácie sú nasledujúce: frézovanie - 6,4 minúty, sústruženie - 5,6 minúty, vŕtanie - 2,4 minúty, hobľovanie - 5,6 minúty, mletie - 4 minúty. Linka funguje v dvoch smenách po dobu 8 hodín. Počas smeny na trati sú 2 regulované prestávky po 20 minút. Program výroby dielov denne je 220 kusov. Prenos dielov po kusoch. Na stránke je využívaná jednosmerná služba. Obdobie na dokončenie nevybavených (obratov) tratí je jedna zmena.

Obnova šifrovaných súborov- s týmto problémom sa stretáva veľký počet používateľov osobné počítače ktoré prepadli rôznym vírusom ransomwaru. Množstvo malware v tejto skupine je veľa a každým dňom sa zvyšuje. Len nedávno sme sa stretli s desiatkami možností šifrovania: CryptoLocker, Crypt0l0cker, Alpha Crypt, TeslaCrypt, CoinVault, Bit Crypt, CTB-Locker, TorrentLocker, HydraCrypt, better_call_saul, crittt atď.

Šifrované súbory môžete samozrejme obnoviť jednoducho podľa pokynov, ktoré tvorcovia vírusu ponechajú na infikovanom počítači. Náklady na dešifrovanie sú však často veľmi významné. Musíte tiež vedieť, že niektoré vírusy ransomware šifrujú súbory takým spôsobom, že je dešifrovanie neskôr jednoducho nemožné. A samozrejme je len frustrujúce platiť za obnovu vlastných súborov.

Spôsoby, ako bezplatne obnoviť šifrované súbory

Existuje niekoľko spôsobov, ako obnoviť šifrované súbory pomocou úplne bezplatných a osvedčených programov, ako sú ShadowExplorer a PhotoRec. Pred obnovou a počas nej sa snažte používať infikovaný počítač čo najmenej, aby ste zvýšili svoje šance na úspešnú obnovu súborov.

Nasledujúce pokyny je potrebné postupovať krok za krokom, ak vám niečo nefunguje, potom PRESTAŇTE, požiadajte o pomoc napísaním komentára k tomuto článku alebo vytvorením novej témy v našom článku.

1. Odstráňte ransomware virus

Kaspersky Odstránenie vírusov Nástroj a Malwarebytes Anti-malware dokáže detekovať odlišné typy aktívne ransomware vírusy a ľahko ich odstráňte z počítača, ALE nedokážu obnoviť šifrované súbory.

1.1. Odstráňte ransomware vírus pomocou Kaspersky Virus Removal Tool

Kliknite na tlačidlo Skenovanie spustite kontrolu počítača na vírus ransomware.

Počkajte na koniec tohto procesu a odstráňte nájdený škodlivý softvér.

1.2. Odstráňte ransomware vírus pomocou Malwarebytes Anti-malware

Stiahnite si program. Po dokončení sťahovania spustite stiahnutý súbor.

Proces aktualizácie programu sa spustí automaticky. Keď skončí, stlačte tlačidlo Spustiť kontrolu... Malwarebytes Anti-malware skontroluje váš počítač.

Ihneď po dokončení kontroly vášho počítača Malwarebytes Anti-malware otvorí zoznam nájdených komponentov ransomwaru.

Kliknite na tlačidlo Zmaž označené vyčistiť počítač. Počas odstraňovania škodlivého softvéru môže Malwarebytes Anti-malware vyžadovať, aby ste v procese pokračovali reštartovaním počítača. Potvrďte to výberom možnosti Áno.

Po reštartovaní počítača Malwarebytes Anti-malware automaticky pokračuje v procese dezinfekcie.

2. Obnovte zašifrované súbory pomocou programu ShadowExplorer

ShadowExplorer je malý nástroj, ktorý vám umožňuje obnoviť tieňové kópie súborov, ktoré sú automaticky vytvárané prevádzkou Systém Windows(7-10). To vám umožní obnoviť počiatočný stavšifrované súbory.

Stiahnite si program. Program je v zip archíve. Preto kliknite pravým tlačidlom myši na stiahnutý súbor a vyberte položku Extrahovať všetko. Potom otvorte priečinok ShadowExplorerPortable.

Spustite aplikáciu ShadowExplorer. Vyberte požadovaný disk a dátum vytvorenia tieňových kópií, respektíve čísla 1 a 2 na obrázku nižšie.

Kliknite pravým tlačidlom myši na priečinok alebo súbor, z ktorého chcete obnoviť kópiu. V zobrazenej ponuke vyberte položku Exportovať.

Nakoniec vyberte priečinok, kam sa skopíruje obnovený súbor.

3. Obnovte šifrované súbory pomocou programu PhotoRec

PhotoRec je voľný program, vytvorený na obnovu zmazaných a stratených súborov. Pomocou neho môžete obnoviť pôvodné súbory, ktoré vírusy ransomware odstránili po vytvorení ich šifrovaných kópií.

Stiahnite si program. Program je v archíve. Preto kliknite pravým tlačidlom myši na stiahnutý súbor a vyberte položku Extrahovať všetko. Potom otvorte priečinok testdisk.

Nájdite QPhotoRec_Win v zozname súborov a spustite ho. Otvorí sa okno programu, v ktorom sa zobrazia všetky oddiely dostupných diskov.

V zozname oddielov vyberte ten, ktorý obsahuje šifrované súbory. Potom kliknite na tlačidlo Formáty súborov.

V predvolenom nastavení je program nakonfigurovaný na obnovu všetkých typov súborov, ale na urýchlenie práce sa odporúča ponechať iba tie typy súborov, ktoré je potrebné obnoviť. Po dokončení výberu kliknite na tlačidlo OK.

V spodnej časti okna QPhotoRec nájdite tlačidlo Prehľadávať a kliknite naň. Musíte vybrať adresár, kam budú uložené obnovené súbory. Odporúča sa použiť disk, ktorý neobsahuje šifrované súbory vyžadujúce obnovu (môžete použiť USB flash disk alebo externý disk).

Kliknutím na tlačidlo Hľadať spustíte postup pre vyhľadávanie a obnovu pôvodných kópií šifrovaných súborov. Tento proces trvá dlho, buďte preto trpezliví.

Keď sa vyhľadávanie skončí, kliknite na tlačidlo Ukončiť. Teraz otvorte priečinok, ktorý ste vybrali na uloženie obnovených súborov.

Priečinok bude obsahovať adresáre s názvom recup_dir.1, recup_dir.2, recup_dir.3 atď. Ako viac súborov program nájde, čím viac bude adresárov. Ak chcete nájsť potrebné súbory, postupne skontrolujte všetky adresáre. Na uľahčenie nájdenia potrebného súboru medzi veľkým počtom obnovených súborov použite vstavaný systém Windows vyhľadávanie(podľa obsahu súboru), a tiež nezabudnite na funkciu triedenia súborov v adresároch. Ako možnosť zoradenia môžete vybrať dátum zmeny súboru, pretože QPhotoRec sa pri obnove súboru pokúša obnoviť túto vlastnosť.