Rozlišovanie komplexných funkcií
Nechajte funkciu n- argumenty premenných sú tiež funkciami premenných:
Nasledujúca veta o diferenciácii zloženej funkcie je pravdivá.
Veta 8. Ak sú funkcie v jednom bode diferencovateľné a funkcie sú diferencovateľné v zodpovedajúcom bode, kde ,. Potom je komplexná funkcia v bode diferencovateľná a parciálne deriváty sú určené vzorcami
kde sa čiastkové deriváty počítajú v bode a počítajú sa v bode.
prove Dokážme túto vetu pre funkciu dvoch premenných. Nechaj, ah.
Nech a ľubovoľné prírastky argumentov a v bode. Zodpovedajú prírastkom funkcií a v bode. Zvyšuje a zodpovedá prírastku funkcie v bode. Pretože je v jednom bode diferencovateľný, jeho prírastok možno zapísať ako
kde a sú vypočítané v bode, pre a. Vzhľadom na diferencovateľnosť funkcií a v bode získavame
kde sa počíta v bode; ...
Nahraďte (14) bodom (13) a upravte podmienky
Všimnite si toho, že at, as a majú tendenciu vynulovať sa pri. Vyplýva to z toho, že nekonečne málo pre a. Ale funkcie a sú diferencovateľné, a preto sú v jednom bode spojité. Preto ak a potom. Potom a o.
Pretože parciálne deriváty sú vypočítané v bode, dostaneme
Označujeme
a to znamená, že je diferencovateľný vzhľadom na premenné a navyše
Dôsledok. Ak navyše ,, t.j. , potom derivát vzhľadom na premennú t vypočítané podľa vzorca
Ak potom
Posledný výraz sa nazýva celkový derivátový vzorec pre funkciu viacerých premenných.
Príklady. 1) Nájdite celkovú deriváciu funkcie, kde ,.
Riešenie.
2) Nájdite celkovú deriváciu funkcie, ak ,.
Riešenie.
Pomocou pravidiel diferenciácie komplexnej funkcie získame jednu dôležitú vlastnosť diferenciálu funkcie mnohých premenných.
Ak sú nezávislými premennými funkcie, potom je diferenciál podľa definície rovný:
Teraz nechajte argumenty byť diferencovateľnými funkciami v určitom bode funkcie vzhľadom na premenné a funkcia je rozlíšiteľná vzhľadom na premenné. Potom ho možno považovať za komplexnú funkciu premenných. Podľa predchádzajúcej vety je diferencovateľný a vzťah
kde je určený vzorcami (12). Nahradením (12) do (17) a zbieraním koeficientov v získame
Pretože koeficient na deriváte je rovný diferenciálu funkcie, potom sa opäť získal vzorec (16) pre diferenciál komplexnej funkcie.
Vzorec pre prvý diferenciál teda nezávisí od toho, či jeho argumenty sú funkcie alebo či sú nezávislé. Táto vlastnosť sa nazýva nemennosť formy prvého diferenciálu.
Taylorov vzorec (29) je možné napísať aj vo forme
ƒ Vykonávame dôkaz funkcie dvoch premenných alebo.
Pozrime sa najskôr na jednu premennú funkciu. Nech je rozlíšiteľný v susedstve bodu. Taylorov vzorec pre funkciu jednej premennej so zvyškom v Lagrangeovom vzorci má
Pretože je nezávislou premennou, potom. Podľa definície diferenciálu funkcie jednej premennej
(31) Ak je označené, potom (31) môže byť napísané vo forme
Zvážte niektoré - okolie bodu a ľubovoľný bod v ňom a spojte body a segment priamky. Je zrejmé, že súradnice a body tejto priamky sú lineárnymi funkciami parametra.
Na segmente priamky je funkcia komplexnou funkciou parametra, pretože. Navyše je to časovo diferencovateľné vzhľadom na on a Taylorov vzorec (32) platí pre, kde, t.j.
Diferenciály vo vzorci (32) sú diferenciály komplexnej funkcie, kde ,,, t.j.
Náhradou (33) za (32) a zohľadnením toho získame
Posledný člen v (34) sa nazýva zvyšok Taylorovho vzorca v Lagrangeova forma
Bez dôkazu poznamenávame, že ak je za podmienok vety funkcia v bode diferencovateľná m potom môže byť zapísaný zvyšok Peano forma:
Kapitola 7. Funkcie niekoľkých premenných
7.1. Vesmír R n. Nastavuje v lineárnom priestore.
Sada, z ktorej prvkov sú všetky možné usporiadané sady n skutočné čísla, označené a volané n-rozmerný aritmetický priestor a číslo n zavolal rozmer priestoru. Prvok sady je tzv bod v priestore alebo vektor, a čísla súradnice tento bod. Volá sa bod = (0, 0, ... 0) nula alebo pôvod.
Priestor je množina reálnych čísel, t.j. - číselný riadok; a-existuje dvojrozmerná geometrická rovina súradníc a trojrozmerný súradnicový geometrický priestor. Vektory ,, ..., sa nazývajú jednotkový základ.
Pre dva prvky, množinu, sú definované pojmy súčtu prvkov a súčinu prvku so skutočným číslom:
Je zrejmé, že na základe tejto definície a vlastností reálnych čísel sú rovnosti pravdivé:
Podľa týchto vlastností je priestor nazývaný aj lineárne (vektorové) priestor.
V lineárnom priestore je určený skalárny produkt prvkov a ako skutočné číslo, vypočítané podľa nasledujúceho pravidla:
Volá sa číslo dĺžka vektora alebo normou... Vektory a sú tzv ortogonálne, ak. Množstvo
, )= │ - │ =
zavolal vzdialenosť medzi prvkami a .
Ak tiež nenulové vektory, potom uhol medzi nimi sa nazýva uhol taký, že
Je ľahké overiť, že bodovým súčinom sú splnené všetky prvky a skutočné číslo:
Lineárny priestor so skalárnym súčinom definovaným v ňom vzorcom (1) sa nazýva Euklidovský priestor.
Nechajte pointu a. Množina všetkých bodov, pre ktoré platia nerovnosti
zavolal n -meraná kocka s okrajom a vystredeným v bode. Napríklad dvojrozmerná kocka je štvorec so stranou vystredenou v bode.
Súbor bodov spĺňajúci nerovnosť sa nazýva n-ball polomer sústredený v bode, nazývaný tiež
- susedstvo bodu v a označujú,
Jednorozmerná guľa je teda intervalom dĺžky. Dvojrozmerná lopta
je kruh, pre ktorý je nerovnosť
Definícia 1... Súprava sa nazýva obmedzený ak existuje
n je rozmerová guľa obsahujúca túto sadu.
Definícia 2... Volá sa funkcia definovaná na súbore prirodzených čísel a nadobúdajúcich hodnôt, ku ktorým patrí postupnosť v priestore a je naznačené, kde.
Definícia 3... Pointa sa nazýva limit sekvencie, ak pre ľubovoľné kladné číslo existuje prirodzené číslo také, že nerovnosť platí pre akékoľvek číslo.
Symbolicky je táto definícia napísaná takto:
Označenie:
Z definície 3 vyplýva, že pre. Táto sekvencia sa nazýva konvergujúce Komu.
Ak sa sekvencia nekonverguje do žiadneho bodu, potom sa nazýva divergentný.
Veta 1. Aby sa postupnosť zbiehala do bodu, je potrebné a dostatočné, aby bola splnená pre akékoľvek číslo, t.j. aby poradie i- x súradníc bodov konvergovaných k i- th súradnica bodu.
□ Dôkaz vyplýva z nerovností
Sekvencia sa nazýva obmedzený ak je súbor jeho hodnôt obmedzený, t.j.
Rovnako ako číselná postupnosť, aj zbiehajúca sa postupnosť bodov je ohraničená a má jeden limit.
Definícia 4... Sekvencia sa nazýva zásadný(Cauchyho postupnosť), ak pre akékoľvek kladné číslo je možné určiť prirodzené číslo tak, že pre ľubovoľné prirodzené čísla a veľké platí, t.j.
Veta 2(Cauchyho kritérium). Aby bola sekvencia konvergentná, je nevyhnutné a dostatočné, aby bola zásadná.
□ Nevyhnutnosť. Nech sa zbieha do bodu. Potom dostaneme sekvenciu konvergujúcu k. ... ... , ..., X sa volá oblasť v. Ak NS - regiónu, potom sa nazýva jeho uzavretie uzavretý priestor.
Sady X a Y sa volajú oddeliteľné ak ani jeden z nich neobsahuje dotykové body druhého.
Veľa NS sa volajú viazaný ak ho nemožno reprezentovať ako spojenie dvoch oddeliteľných množín.
Veľa NS sa volajú vypuklé , ak niektorý z jeho dvoch bodov môže byť spojený segmentom, ktorý úplne patrí do tejto množiny.
Príklad. Na základe vyššie definovaných definícií možno tvrdiť, že
- spojený, lineárne spojený, otvorený, nekonvexný súbor, je doména.
- pripojená, lineárne spojená, neobjavená, nekonvexná množina, nie doména.
- nepripojená, nie lineárne prepojená, otvorená, nekonvexná množina, nie doména.
- nepripojená, nie lineárne prepojená, otvorená množina, nie doména.
- spojený, lineárne spojený, otvorená množina, je doména.
Príklad. Zistite, či, kde.
Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:
Príklad. Nájdite parciálnu deriváciu a celkovú deriváciu, ak 
.
Riešenie. ...
Na základe vzorca (2) dostaneme 
.
2°. Prípad niekoľkých nezávislých premenných.
Nechaj byť z = f (x; y) - funkcia dvoch premenných NS a y, z ktorých každá je funkciou
nezávislá premenná t: x = x (t), y = y (t). V tomto prípade funkcia z = f (x (t); y (t)) je
komplexná funkcia jednej nezávislej premennej t; premenné x a y sú medziľahlé premenné.
Veta... Ak z == f(X; y) - v bode diferencovateľné M (x; y) D funkciu
a x = x (t) a o =y (t) - diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t,
potom derivácia komplexnej funkcie z (t) == f(x (t); y (t)) vypočítané podľa vzorca
 | (3) |
Špeciálny prípad: z = f (x; y), kde y = y (x), tí. z = f (x; y (x)) - komplexná funkcia jedného
nezávislá premenná NS. Tento prípad je redukovaný na predchádzajúci a úlohu premennej
t hrá NS. Podľa vzorca (3) máme:
.
Posledný vzorec sa nazýva úplné derivačné vzorce.
Všeobecný prípad: z = f (x; y), kde x = x (u; v), y = y (u; v). Potom z = f (x (u; v); y (u; v)) - komplexné
funkcia nezávislých premenných a a v. Jeho parciálne deriváty a možno ich nájsť
použitím vzorca (3) nasledovne. Oprava v, nahradiť v ňom,
zodpovedajúce parciálne deriváty
Derivát komplexnej funkcie (z) vzhľadom na každú nezávislú premennú (a a v)
sa rovná súčtu súčinov parciálnych derivátov tejto funkcie (z) vzhľadom na jej medziprodukt
premenná (x a y) na ich deriváty vzhľadom na zodpovedajúcu nezávislú premennú (u a v).
Vo všetkých zvažovaných prípadoch platí nasledujúci vzorec
(vlastnosť nemennosti celkového diferenciálu).
Príklad. Nájdite a, ak z = f(x, y), kde x = uv ,.
Nech z = ƒ (x; y) je funkciou dvoch premenných x a y, z ktorých každá je funkciou nezávislej premennej t: x = x (t), y = y (t). V tomto prípade je funkcia z = f (x (t); y (t)) komplexnou funkciou jednej nezávislej premennej t; premenné x a y sú medziľahlé premenné.
Veta 44.4. Ak z = ƒ (x; y) je funkcia diferencovateľná v bode M (x; y) є D a x = x (t) a y = y (t) sú diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t, potom derivát komplexnej funkcie z (t) = f (x (t); y (t)) sa vypočíta podľa vzorca
Dajme nezávislej premennej t prírastok Δt. Potom funkcie x = = x (t) a y = y (t) dostanú prírastky Δх a Δу. Na druhej strane spôsobia prírastok Az funkcie z.
Pretože podľa hypotézy je funkcia z - (x; y) diferencovateľná v bode M (x; y), jej celkový prírastok môže byť reprezentovaný vo forme
kde a → 0, β → 0 ako Δх → 0, Δу → 0 (pozri položku 44.3). Rozdelíme výraz Δz na Δt a prejdeme na limit ako Δt → 0. Potom Δх → 0 a Δу → 0 v dôsledku spojitosti funkcií x = x (t) a y = y (t) (hypotézou vety sú diferencovateľné). Dostaneme:
Špeciálny prípad: z = ƒ (x; y), kde y = y (x), to znamená z = ƒ (x; y (x)) je komplexná funkcia jednej nezávislej premennej x. Tento prípad sa redukuje na predchádzajúci a úlohu premennej t zohráva x. Podľa vzorca (44,8) máme:
Vzorec (44,9) sa nazýva vzorec pre celkový derivát.
Všeobecný prípad: z = ƒ (x; y), kde x = x (u; v), y = y (u; v). Potom z = f (x (u; v); y (u; v)) je komplexná funkcia nezávislých premenných u a v. Jeho parciálne deriváty možno nájsť pomocou vzorca (44,8) nasledovne. Oprava v, nahradíme ju zodpovedajúcimi čiastkovými deriváciami 
Podobne dostaneme: 
Derivát komplexnej funkcie (z) vzhľadom na každú nezávislú premennú (u a v) sa teda rovná súčtu súčinov parciálnych derivátov tejto funkcie (z) vzhľadom na jej medziľahlé premenné (x a y) ) ich derivátmi vzhľadom na zodpovedajúcu nezávislú premennú (u a v).
Príklad 44.5. Zistite, či z = ln (x 2 + y 2), x = u v, y = u / v.
Riešenie: Nájdite dz / du (dz / dv - nezávisle) pomocou vzorca (44.10):
Zjednodušte pravú stranu výslednej rovnosti:
40. Parciálne derivácie a celkový diferenciál funkcie viacerých premenných.
Nech je daná funkcia z = ƒ (x; y). Pretože x a y sú nezávislé premenné, jedna z nich sa môže zmeniť, zatiaľ čo druhá si zachováva svoju hodnotu. Dajme nezávislej premennej x prírastok Δx, pričom hodnotu y ponechajme nezmenenú. Potom z dostane prírastok, ktorý sa nazýva čiastočný prírastok z v x a označuje sa ∆ x z. Takže,
Δ x z = ƒ (x + Δx; y) -ƒ (x; y).
Podobne získame čiastočný prírastok z vzhľadom na y:
Δ y z = ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).
Celkový prírastok Δz funkcie z je určený rovnosťou
Δz = ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).
Ak existuje limit
potom sa nazýva parciálna derivácia funkcie z = ƒ (x; y) v bode M (x; y) vzhľadom na premennú x a označuje sa jedným zo symbolov:
Čiastkové derivácie vzhľadom na x v bode M 0 (x 0; y 0) sú zvyčajne označené symbolmi 
Parciálna derivácia z = ƒ (x; y) vzhľadom na premennú y je definovaná a označená podobným spôsobom:
Parciálna derivácia funkcie niekoľkých (dvoch, troch alebo viacerých) premenných je teda definovaná ako derivácia funkcie jednej z týchto premenných za predpokladu, že hodnoty zostávajúcich nezávislých premenných sú konštantné. Preto sú parciálne deriváty funkcie ƒ (x; y) nájdené podľa vzorcov a pravidiel na výpočet derivátov funkcie jednej premennej (v tomto prípade sa x alebo y považuje za konštantu).
Príklad 44.1. Nájdite parciálne deriváty funkcie z = 2y + e x2-y +1. Riešenie:
Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných
Graf funkcie z = ƒ (x; y) je nejaký povrch (pozri podsekciu 12.1). Graf funkcie z = ƒ (x; y 0) je priesečníkom tejto plochy s rovinou y = y o. Na základe geometrického významu derivácie pre funkciu jednej premennej (pozri časť 20.2) usudzujeme, že ƒ "x (xo; yo) = tan a, kde a je uhol medzi osou Ox a dotyčnicou nakreslenou k krivka z = ƒ (x; y 0) v bode Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) (pozri obr. 208).
Podobne f "y (x 0; y 0) = tanβ.
Funkciu Z = f (x, y) nazývame diferencovateľnou v bode P (x, y), ak jej celkový prírastok ΔZ možno vyjadriť ako Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy + ω (Δx, Δy), kde Δx a Δy - akékoľvek prírastky zodpovedajúcich argumentov x a y v nejakom susedstve bodu P, A a B sú konštanty (nezávisia od Δx, Δy),
ω (Δx, Δy) - nekonečne malé vyššieho rádu, ako je vzdialenosť:
Ak je funkcia v bode diferencovateľná, potom sa jej celkový prírastok v tomto bode skladá z dvoch častí:
1. Hlavná časť prírastku funkcie A ∙ Δx + B ∙ Δy - lineárna vzhľadom na Δx, Δy
2. A nelineárne ω (Δx, Δy) - nekonečne málo vyššieho rádu, ako je hlavná časť prírastku.
Hlavná časť prírastky funkcií - lineárne vzhľadom na Δx, Δy sa nazýva celkový diferenciál tejto funkcie a označuje sa:Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy, Δx = dx a Δy = dy alebo celkový diferenciál funkcie dvoch premenných:
Diferenciál displeja. Diferenciál a derivácia numerickej funkcie jednej premennej. Tabuľka derivátov. Diferenciálnosť. ) Je funkcia argumentu, ktorá je nekonečne malá ako → 0, t.j.
Teraz objasnime súvislosť medzi diferencovateľnosťou v bode a existenciou derivátu v tom istom bode.
Veta. Aby funkcia f(X) bolo v tomto mieste diferencovateľné NS , je nevyhnutné a dostatočné, aby v tomto mieste malo konečnú deriváciu.
Tabuľka derivátov.
Nech je funkcia z - f (x, y) definovaná v nejakej doméne D v rovine x0y. Vezmite vnútorný bod (x, y) z oblasti D a dajte x prírastok Ax tak, aby bod (x + Ax, y) 6 D (obr. 9). Veličina sa bude volať čiastočný prírastok funkcie z vzhľadom na x. Zostavme vzťah Pre daný bod (x, y) je tento vzťah funkciou Definície. Ak pre Ax - * 0 má pomer ^ konečnú hranicu, potom sa táto hranica nazýva parciálna derivácia funkcie z = f (x, y) vzhľadom na nezávislú premennú x v bode (x, y) a je označený symbolom jfc (alebo / i (x, jj) alebo z "x (x, teda podľa definície alebo, čo je rovnaké, podobne, ak a je funkciou n nezávislých premenných, potom si všimneme, že Arz sa vypočíta s nezmenenou hodnotou premennej y a Atz - s nezmenenou hodnotou premennej x môžu byť definície parciálnych derivátov formulované nasledovne: Parciálne derivácie Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Diferenciálnosť funkcia viacerých premenných Potrebné podmienky pre diferencovateľnosť funkcie Postačujúce podmienky pre diferenciáciu funkcií viacerých premenných Celkový diferenciál Parciálne diferenciály Deriváty komplexnej funkcie parciálnej derivácie vzhľadom na x funkcie z = / (x, y ) je obvyklá derivácia tejto funkcie vzhľadom na x, vypočítaná za predpokladu, že y je konštanta; parciálna derivácia vzhľadom na y funkcie z - / (x , y) sa nazýva jeho derivát vzhľadom na y, vypočítaný za predpokladu, že x je konštanta. Z toho vyplýva, že pravidlá na výpočet čiastočných derivácií sa zhodujú s pravidlami, ktoré sa osvedčili pre funkciu jednej premennej. Príklad. Nájdite parciálne deriváty funkcie 4 Máme substitúcie *. Existencia funkcie z = f (x, y) v danom bode parciálnych derivácií vzhľadom na všetky argumenty nevylučuje kontinuitu funkcie v tomto bode. Funkcia teda nie je spojitá v bode 0 (0,0). V tomto mieste však má uvedená funkcia parciálne deriváty vzhľadom na x a vzhľadom na y. Vyplýva to zo skutočnosti, že f (x, 0) = 0 a / (0, y) = 0, a teda geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných. Nech je daná plocha S v trojrozmernom priestore rovnicou, kde f (x, y) je funkcia, spojitá v nejakej doméne D a majúca tu parciálne deriváty vzhľadom na x a vzhľadom na y. Objasnime geometrický význam týchto derivátov v bode Mo (xo, yo) 6 D, ktorý zodpovedá bodu f (x0) yo)) na ploche z = f (x) y). Pri hľadaní parciálnej derivácie v bode M0 predpokladáme, že z je iba funkciou argumentu x, zatiaľ čo argument y si zachováva konštantnú hodnotu y = yo, to znamená, že funkcia fi (x) je geometricky znázornená krivkou L, pozdĺž ktorého je plocha S pretínaná rovinou y = asi o. Na základe geometrického významu derivácie funkcie jednej premennej f \ (xo) = tan a, kde a je uhol tvorený dotyčnicou k priamke L v bode JV0 s osou Ox (obr. 10) . Ale tak Parciálna derivácia ($ |) sa rovná dotyčnici uhla a medzi osou Ox a dotyčnicou v bode N0 ku krivke získanej v časti povrchu z = f (x, y) o rovina y Podobne získame, že §6. Diferenciálnosť funkcie viacerých premenných Nech je funkcia z = f (x, y) definovaná v nejakej oblasti D na rovine xOy. Vezmite bod (x, y) € D a k vybraným hodnotám x a y dáme akékoľvek prírastky Ax a Du, ale také, že bod. Definícia. Funkcia r = f (x, y) sa nazýva diferencovateľný * bod (x, y) 2 EUR, ak celkový prírastok tejto funkcie zodpovedajúci prírastkom Δx, Δy argumentov môže byť reprezentovaný vo forme, kde A a B nezávisia od Δx a Δy (ale spravidla závisia od x a y), a a (Dx, Du) a /? (Dx, Du) majú tendenciu k nule, pretože Dx a Du má tendenciu k nule. ... Ak je funkcia z = f (x, y) v bode (x, y) diferencovateľná, potom časť A Dx 4-BDy prírastku funkcie, lineárna vzhľadom na Dx a Dy, sa nazýva celkový diferenciál tejto funkcie v bode (x, y) a je označený symbolom dz: Svojím spôsobom príklad. Nech r = x2 + y2. V ktoromkoľvek bode (z, y) a pre akékoľvek Dx a Dy tu máme. že a a / 3 majú tendenciu k nule, pretože Dx a Du majú tendenciu k nule. Podľa definície, túto funkciu diferencovateľné v ktoromkoľvek bode roviny xOy. Je potrebné poznamenať, že v našich úvahách sme formálne nevylúčili prípad, keď sa prírastky Dx, Dy oddelene alebo dokonca obidve naraz rovnajú nule. Formula (1) môže byť napísaná kompaktnejšie, ak zavedieme výraz (vzdialenosť medzi bodmi (Pomocou nej môžeme písať)) Keď sme výraz označili v zátvorkách cez e, budeme mať kde c závisí od J, Du a má tendenciu nula, ak J 0 a Du 0, alebo skrátene, ak p 0. Vzorec (1) vyjadrujúci podmienku diferenciácie funkcie z = f (xt y) v bode (x, y) je teraz možné zapísať do forma Vo vyššie uvedenom príklade 6.1. diferencovateľná funkcia Veta 4. Ak je funkcia z = f (x, y) v určitom bode diferencovateľná, potom je v tomto bode spojitá. prírastok funkcie i v tomto bode "" e, zodpovedajúce prírastkom J a Dy argumentov, je možné vyjadriť v tvare f (x, y) je spojitá Veta b. Ak je funkcia r = f (x, y) v danom bode diferencovateľná, potom sú v tomto bode čiastočné deriváty $ gu. Nech je funkcia z = f (x, y) v bode (x, y) rozlíšiteľná. Potom je možné prírastok ^ Δz tejto funkcie, zodpovedajúci prírastkom Δx, Ay argumentov, znázorniť vo forme (1). Ak vezmeme rovnosť (1) Dx Φ 0, Dy = 0, dostaneme, odkiaľ Pretože na pravej strane poslednej rovnosti hodnota A nezávisí na, To znamená, že v bode (x, y) je parciálna derivácia funkcie r = f (x, y) vzhľadom na x, a z rovnakého dôvodu vidíme (x, existuje parciálna derivácia funkcie zy a z vety vyplýva, že zdôrazňujeme, že Veta 5 potvrdzuje existenciu parciálnych derivácií iba v bode (x, y), ale nehovorí nič o ich kontinuite v tomto bode, ako ani o ich správaní v susedstve bodu (x, y) 6.2 Dostatočné podmienky pre diferencovateľnosť funkcií viacerých premenných Ako je známe, nevyhnutnou a dostačujúcou podmienkou diferenciácie funkcie y = f (x) jednej premennej v bode x0 je existencia konečnej derivácie f "(x) v bode x0. V prípade, že funkcia závisí od viacerých premenných, je situácia oveľa komplikovanejšia: pre funkciu z = f (x, y) dvoch nezávislých premenných x, y neexistujú potrebné a dostatočné podmienky na diferenciáciu; existuje l Potrebné podmienky hľadajte oddelene (pozri. vyššie) a oddelene - postačujúce. Tieto dostatočné podmienky na diferenciáciu funkcií viacerých premenných vyjadruje nasledujúca veta. Veta c. Ak má funkcia parciálne deriváty f £ a f "v v niektorom susedstve je tenké (xo, yo) a ak sú tieto deriváty v bode spojité (xo, yo), potom je funkcia z = f (x, y) diferencovateľná v bode (x- Príklad: Uvažujme funkciu Parciálne derivácie Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Diferenciálnosť funkcie viacerých premenných Potrebné podmienky pre diferencovateľnosť funkcie Postačujúce podmienky pre diferencovateľnosť funkcií viacerých premenné Celkový diferenciál Čiastkové diferenciály Deriváty komplexnej funkcie Je definovaná všade. Danú funkciu nájdeme v bode 0 (0,0) a jej prírastok sa zostruje Pre diferencovateľnosť funkcie f (x, y) = na bod 0 (0,0), je potrebné, aby funkcia e (Dx, Dy) bola 6 v 0 a Dy 0. Vložte A0. Potom zo vzorca (1) budeme mať Preto funkcia f (x, y) = nie je rozlíšiteľný v bode 0 (0,0), aj keď v tomto bode má fa a f "r. výsledok je vysvetlený skutočnosťou, že deriváty f "z a f" t sú v bode §7 nesúvislé. Plný diferenciál. Čiastkové diferenciály Ak je funkcia z - f (z> y) diferencovateľná, potom je jej diferenciál dz rovnaký. Ich prírastky: Potom si vezmeme príklad pre celkový diferenciál funkcie. Nech i - ln (x + y2). Potom Podobne, ak je u =) diferencovateľná funkcia n nezávislých premenných, potom sa výraz nazýva chudý diferenciál funkcie z = f (x, y) vzhľadom na premennú x; výraz sa nazýva parciálny diferenciál funkcie z = f (x, y) premenná y. Zo vzorcov (3), (4) a (5) vyplýva, že celkový diferenciál funkcie je súčtom jej parciálnych diferenciálov: Všimnite si, že celkový prírastok Az funkcie z = f (x, y), spravidla povedané, sa nerovná súčtu čiastkových prírastkov. Ak je v bode (x, y) funkcia z = f (x, y) diferencovateľná a diferenciál dz Φ 0 v tomto bode, potom sa jeho celkový prírastok líši od lineárnej časti iba súčtom posledných výrazov 0 a Ay - »0 sú nekonečne malé vyššieho rádu, ako sú podmienky lineárnej časti. Preto pri dz Ф 0 sa lineárna časť prírastku diferencovateľnej funkcie nazýva hlavná časť prírastku funkcie a používa sa približný vzorec, ktorý bude tým presnejší, čím menšie sú v absolútnej hodnote prírastky argumenty sú. §osem. Deriváty komplexnej funkcie 1. Nech je funkcia definovaná v nejakej doméne D v rovine x0y a každá z premenných x, y je zase funkciou argumentu t: Predpokladáme, že keď sa t zmení v intervale (zodpovedajúce body (x, y) nenechávajú mimo doménu D. Ak hodnoty dosadíme do funkcie z = f (x, y), potom získame komplexnú funkciu jednej premennej t. a pre zodpovedajúce hodnoty funkcia f (x, y) je diferencovateľná, potom komplexná funkcia v bode t má deriváciu a M Dáme t prírastok Δt. Potom x a y prijmú prírastky Ax a Δy. Výsledkom je, že pre (J) 2 + (Δy) 2 Φ 0 bude funkcia z dostávať aj určitý prírastok Δt, ktorý vzhľadom na diferencovateľnosť funkcie z = / (x, y) v bode (x , y) môžu byť reprezentované v tvare, kde a) majú sklon k nule, pretože Ax a Du majú sklon k nule. Predĺžme a a / 3 pre Ax = Ay = 0 nastavením a Potom a (bude spojité pre J = Du = 0. Uvažujme, že vzťah pre daný je konštantný, hypotézou existujú limity pre existenciu derivácií ^ a v bode ζ nasleduje spojitosť v tomto bode funkcií x = y (t) a y = preto, pretože v 0 majú J aj Dy tendenciu k nule, čo zase znamená sklon k nule a (Dx, Du) a P (Ax, Ay). Teda, pravá časť rovnosť (2) na 0 má hranicu rovnajúcu sa So, existuje na At 0 a hranicu na ľavej strane (2), tj. existuje rovnaké prechod v rovnosti (2) na limit ako na - » 0, získame požadovaný vzorec V konkrétnom prípade, keď v dôsledku toho z je komplexná funkcia x, dostaneme Vo vzorci (5) existuje parciálna derivácia funadiq = f (x, y) vzhľadom na x, keď na výpočet ktorého vo výraze f (x, y) je argument y braný ako konštanta. A existuje celková derivácia funkcie z vzhľadom na nezávislú premennú x, pri výpočte ktorej y vo výraze f (x, y) už nie je brané ako konštanta, ale je naopak považovaná za funkciu z x: y = tp (x) t, a preto sa v plnom rozsahu zohľadňuje závislosť z na dobre. Príklad. Nájdite a jg ak 2. Uvažujme teraz o diferenciácii komplexnej funkcie niekoľkých premenných. Nechajme, kde, zase, aby Predpokladajme, že v bode (() sú spojité parciálne derivácie u, 3? A v zodpovedajúcom bode (x, y), kde je funkcia f (x, y) diferencovateľná. Budeme ukážte, že za týchto podmienok má komplexná funkcia z = z (() y) v bode t7) deriváty a u, a pre tieto deriváty nájdeme výrazy. Všimnite si, že tento prípad sa výrazne nelíši od už študovaného. Keď je z rozlíšené vzhľadom na ζ, druhá nezávislá premenná rj je braná ako konštanta, v dôsledku čoho sa x a y stávajú funkciami jednej premennej x '= c), y = c) pri tejto operácii, a otázka derivátu je riešená úplne rovnakým spôsobom ako otázka derivátu pri derivácii vzorca (3) Použitím vzorca (3) a formálnym nahradením derivátov g a g derivátmi u, respektíve, získame Podobne nájdeme Príklad: Nájdite parciálne deriváty funkcie z = x2 y - xy, ak x - y = Ak je komplexná funkcia daná vzorcami tak, že za vhodných podmienok máme V konkrétnom prípade, keď I = kde Parciálne derivácie Geometrický význam parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných Diferenciálnosť funkcie viacerých premenných Potrebné podmienky na diferenciáciu funkcie Dostatočné podmienky na diferenciáciu funkcií viacerých premenných Celkový diferenciál. Deriváty komplexnej funkcie majú Tu m je súčet parciálna derivácia funkcie a pokiaľ ide o nezávislú premennú x, berúc do úvahy úplnú závislosť oboch na x, vrátane a v zmysle z = z (x, y), a ^ je čiastočná derivačná funkcia, u = f (z, y, z) vzhľadom na x pri výpočte k
1 °. Prípad jednej nezávislej premennej... Ak z = f (x, y) je diferencovateľnou funkciou argumentov x a y, ktoré sú zase diferencovateľnými funkciami nezávislej premennej t:, potom derivácia komplexnej funkcie 
sa dá vypočítať podľa vzorca
Príklad. Zistite, či, kde.
Riešenie. Podľa vzorca (1) máme:
Príklad. Nájdite parciálnu deriváciu a celkovú deriváciu, ak 
.
Riešenie. ...
Na základe vzorca (2) dostaneme 
.
2°. Prípad niekoľkých nezávislých premenných.
Nechaj byť z =f (X;y) - funkcia dvoch premenných NS a y, každý z nich je funkciou nezávislej premennej t: x =X (t), y =y (t). V tomto prípade funkcia z =f (X (t);y (t)) je komplexná funkcia jednej nezávislej premennej t; premenné x a y sú medziľahlé premenné.
Veta... Ak z == f(X; y) - v bode diferencovateľné M (x; y)D funkciu a x =X (t) a o =y (t) - diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t, potom derivácia komplexnej funkcie z (t) == f(X (t);y (t)) vypočítané podľa vzorca
|
|
Špeciálny prípad:z = f (X; y), kde y = y (x), tí. z = f (X;y (X)) - komplexná funkcia jednej nezávislej premennej NS. Tento prípad je redukovaný na predchádzajúci a úlohu premennej t hrá NS. Podľa vzorca (3) máme:
.
Posledný vzorec sa nazýva úplné derivačné vzorce.
Všeobecný prípad:z = f (X;y), kde x =X (u;v),y =y (u;v). Potom z = f (X (u;v);y (u;v)) - komplexná funkcia nezávislých premenných a a v. Jeho parciálne deriváty je možné nájsť pomocou nasledujúceho vzorca (3). Oprava v, nahradíme v ňom zodpovedajúcimi parciálnymi derivátmi
Derivát komplexnej funkcie (z) vzhľadom na každú nezávislú premennú (a a v) sa rovná súčtu súčinov parciálnych derivátov tejto funkcie (z) s ohľadom na jej prechodné premenné (x a y) na ich deriváty vzhľadom na zodpovedajúcu nezávislú premennú (u a v).
Vo všetkých zvažovaných prípadoch platí nasledujúci vzorec
(vlastnosť nemennosti celkového diferenciálu).
Príklad. Nájdite a, ak z = f(x, y), kde x = uv ,.
Riešenie. Použitím vzorcov (4) a (5) získame:
Príklad. Ukážte, že funkcia vyhovuje rovnici 
.
Riešenie. Funkcia závisí od x a y prostredníctvom prechodného argumentu, takže
Nahradením parciálnych derivátov na ľavej strane rovnice budeme mať:
To znamená, že funkcia z spĺňa túto rovnicu.
Derivácia v danom smere a gradient funkcie
1 °. Derivácia funkcie v danom smere. Derivát funkcia z = f(x, y) v tomto smere zavolal 
, kde a sú hodnoty funkcie v bodoch a. Ak je funkcia z diferencovateľná, potom vzorec
kde sú uhly medzi smerom l a zodpovedajúce súradnicové osi. Derivát v danom smere charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v tomto smere.
Príklad. Nájdite deriváciu funkcie z = 2x 2 - 3y 2 v bode P (1; 0) v smere zvierajúcom s osou OX uhol 120 °.
Riešenie. Nájdeme parciálne deriváty tejto funkcie a ich hodnoty v bode P.