Karmaşık fonksiyonları ayırt etme
fonksiyon için izin ver n- değişkenler argümanları da değişkenlerin fonksiyonlarıdır:
Bileşik bir fonksiyonun türeviyle ilgili aşağıdaki teorem doğrudur.
Teorem 8. Fonksiyonlar bir noktada türevlenebilirse ve fonksiyon karşılık gelen noktada türevlenebilirse, burada,. Sonra karmaşık fonksiyon bir noktada türevlenebilir ve kısmi türevler formüllerle belirlenir.
burada kısmi türevler bir noktada hesaplanır ve bir noktada hesaplanır.
ƒ Bu teoremi iki değişkenli bir fonksiyon için ispatlayalım. İzin ver.
Argümanların ve noktasında keyfi artışlara izin verin. Fonksiyonların artışlarına ve noktada karşılık gelirler. Artışlar ve fonksiyonun noktadaki artışına karşılık gelir. Bir noktada türevlenebilir olduğundan, artımı şu şekilde yazılabilir:
nerede ve noktasında hesaplanır, ve için. Fonksiyonların türevlenebilirliği nedeniyle ve bu noktada şunu elde ederiz:
noktada nerede hesaplanır; ...
(14)'ü (13) ile değiştirin ve terimleri yeniden düzenleyin
at, as ve sıfır olma eğiliminde olduğunu unutmayın. Bu, ve için sonsuz küçük olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Ancak fonksiyonlar ve türevlenebilirdir ve bu nedenle bir noktada süreklidir. Bu nedenle, eğer ve o zaman. Sonra ve de.
Kısmi türevler noktada hesaplandığından,
biz
ve bu, değişkenlere göre türevlenebilir olduğu anlamına gelir ve ayrıca,
Sonuç. Ayrıca, eğer, yani , sonra değişkene göre türev T formülle hesaplanır
eğer, o zaman
Son ifade denir toplam türev formülü birkaç değişkenli bir fonksiyon için.
Örnekler. 1) Fonksiyonun toplam türevini bulun, burada,.
Çözüm.
2) Eğer, fonksiyonun toplam türevini bulun.
Çözüm.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kurallarını kullanarak, çok değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelinin önemli bir özelliğini elde ederiz.
Bağımsız değişkenler fonksiyon ise, diferansiyel tanım gereği şuna eşittir:
Şimdi argümanlar, değişkenlere göre fonksiyonun bir noktasında türevlenebilir fonksiyonlar olsun ve fonksiyon değişkenlere göre türevlenebilir. O zaman değişkenlerin karmaşık bir fonksiyonu olarak görülebilir. Önceki teoreme göre türevlenebilir ve bağıntı
burada formüller (12) ile belirlenir. (12)'yi (17)'ye koyarak ve katsayıları toplayarak elde ederiz.
Türevdeki katsayı, fonksiyonun diferansiyeline eşit olduğundan, karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli için tekrar formül (16) elde edilmiştir.
Bu nedenle, birinci diferansiyelin formülü, argümanlarının fonksiyon olup olmadığına veya bağımsız olup olmadığına bağlı değildir. Bu özellik denir birinci diferansiyelin formunun değişmezliği.
Taylor formülü (29) şeklinde de yazılabilir.
ƒ İki değişkenli bir fonksiyonun ispatını gerçekleştiriyoruz veya.
Önce tek değişkenli bir fonksiyona bakalım. Noktanın bir komşuluğunda türevlenebilir olsun. Lagrange formülünde kalanı olan bir değişkenli bir fonksiyon için Taylor formülü,
O zaman bağımsız değişken olduğundan beri. Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyel tanımı ile
Belirtilirse, (31) şeklinde yazılabilir.
Bazılarını düşünün - bir noktanın komşuluğu ve içinde rastgele bir nokta ve noktaları ve düz bir çizginin bir parçasını birleştirin. Bu düz çizginin koordinatları ve noktalarının parametrenin doğrusal fonksiyonları olduğu açıktır.
Düz bir çizginin bir parçasında, bir fonksiyon, bir parametrenin karmaşık bir fonksiyonudur, çünkü. Ayrıca, Taylor formülü (32) için geçerlidir ve bu formüle göre kez türevlenebilirdir, burada, yani.
Formül (32)'deki diferansiyeller, karmaşık bir fonksiyonun diferansiyelleridir, burada,,, yani.
(33)'ü (32)'ye koyarsak ve bunu dikkate alarak,
(34)'teki son terim, aşağıdaki Taylor formülünün geri kalanı olarak adlandırılır. Lagrange formu
Teoremin koşulları altında fonksiyonun şu noktada türevlenebilir olduğunu ispatsız olarak not ediyoruz. m kez, sonra kalan yazılabilir fıstık formu:
Bölüm 7. Birkaç değişkenli fonksiyonlar
7.1. Uzay R n. Doğrusal uzayda kümeler.
Elemanlarının tümü olası sıralı kümeler olan bir küme n gerçek sayılar, gösterilen ve çağrılan n-boyutlu aritmetik uzay ve sayı n aranan uzayın boyutu. kümenin elemanına denir uzayda bir nokta veya bir vektör, ve sayılar koordinatlar bu nokta. Nokta = (0, 0, ... 0) denir sıfır veya orijin.
Uzay bir dizi gerçek sayıdır, yani. - sayı doğrusu; ve - sırasıyla iki boyutlu bir koordinat geometrik düzlemi ve üç boyutlu bir koordinat geometrik alanı vardır. Vektörler,, ..., denir birim bazında.
İki eleman, bir küme için, elemanların toplamı ve bir elemanın gerçek bir sayı ile çarpımı kavramları tanımlanır:
Açıktır ki, bu tanım ve reel sayıların özelliklerinden dolayı aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
Bu özelliklerine göre uzay da denir. doğrusal (vektör) Uzay.
Doğrusal uzayda belirlenir skaler ürün elemanlar ve gerçek bir sayı olarak, aşağıdaki kurala göre hesaplanır:
numara aranır vektör uzunluğu veya norm... Vektörler ve denir dikey, Eğer . Miktar
, )= │ - │ =
aranan elemanlar arasındaki mesafe ve .
Ayrıca sıfır olmayan vektörler ise, o zaman açı aralarındaki açıya öyle bir açı denir ki
Herhangi bir öğe ve gerçek bir sayı için nokta çarpımının karşılandığını doğrulamak kolaydır:
Formül (1) ile tanımlanan bir skaler çarpımı olan doğrusal bir uzaya denir. Öklid uzayı.
Nokta ve olsun. Eşitsizliklerin tutulduğu tüm noktaların kümesi
aranan n -ölçülen küp kenarlı ve bir noktada ortalanmış. Örneğin, iki boyutlu bir küp, bir kenarı bir noktada ortalanmış bir karedir.
eşitsizliği sağlayan noktalar kümesine denir. n-top bir noktada merkezli yarıçap, aynı zamanda
- noktanın komşuluğu içinde ve belirtmek,
Böylece, tek boyutlu bir top bir uzunluk aralığıdır. iki boyutlu top
eşitsizliğin olduğu bir dairedir
tanım 1... küme denir sınırlı varsa
n bu seti içeren boyutlu bir toptur.
tanım 2... Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlanan ve ait olduğu değerleri alan fonksiyona denir. sıra uzayda ve nerede belirtilir.
tanım 3... nokta denir sıra sınırı keyfi bir pozitif sayı için eşitsizliğin herhangi bir sayı için geçerli olduğu bir doğal sayı varsa.
Sembolik olarak bu tanım şu şekilde yazılır:
Tanım:
Tanım 3'ten bunu takip eder, için. Bu sıra denir yakınsak NS .
Dizi herhangi bir noktaya yakınsarsa, o zaman denir. sapma.
Teorem 1. Dizinin bir noktaya yakınsaması için, herhangi bir sayı için yerine getirilmesi gerekli ve yeterlidir, yani. böylece sıra ben- yakınsayan noktaların x koordinatları ben- noktanın inci koordinatı.
□ Kanıt eşitsizliklerden gelir
Sıra denir sınırlı değerlerinin kümesi sınırlıysa, yani.
Bir sayı dizisi gibi, yakınsak bir nokta dizisi sınırlıdır ve tek bir limiti vardır.
Tanım 4... Sıra denir temel(Cauchy dizisi), herhangi bir pozitif sayı için, keyfi doğal sayılar ve büyük için geçerli olacak şekilde bir doğal sayı belirtilebilirse, yani.
Teorem 2(Cauchy kriteri). Bir dizinin yakınsak olması için temel olması gerekli ve yeterlidir.
□ Gereklilik. Bir noktada birleşmesine izin verin. Daha sonra yakınsayan bir dizi elde ederiz. ... ... , ..., X denir alan v. Eğer NS - bölge, daha sonra kapanması denir kapalı alan.
Takımlar x ve Y arandı ayrılabilir ikisi de diğerinin temas noktalarını içermiyorsa.
Bir çok NS arandı ciltli ayrılabilir iki kümenin birleşimi olarak gösterilemiyorsa.
Bir çok NS arandı dışbükey , iki noktasından herhangi biri, tamamıyla bu kümeye ait olan bir doğru parçası ile bağlanabiliyorsa.
Örnek. Yukarıda formüle edilen tanımlara dayanarak, şu söylenebilir:
- bağlı, doğrusal bağlı, açık, dışbükey olmayan küme, bir etki alanıdır.
- bağlı, lineer olarak bağlı, keşfedilmemiş, dışbükey olmayan bir küme, bir etki alanı değil.
- bağlantısız, doğrusal olarak bağlı olmayan, açık, dışbükey olmayan bir küme, bir etki alanı değil.
- bağlantısız, doğrusal olarak bağlı olmayan, açık küme, bir etki alanı değil.
- bağlantılı, doğrusal bağlantılı, açık küme, bir etki alanıdır.
Örnek. Varsa, nerede bulun.
Çözüm. Formül (1) ile elimizde:
Örnek. Aşağıdaki durumlarda kısmi türevi ve toplam türevi bulunuz. 
.
Çözüm. ...
Formül (2)'ye dayanarak, şunu elde ederiz: 
.
2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu.
İzin vermek z = f (x; y) - iki değişkenli fonksiyon NS ve y, her biri bir fonksiyondur
bağımsız değişken t: x = x (t), y = y (t). Bu durumda, fonksiyon z = f(x(t);y(t)) bir
bir bağımsız değişkenin karmaşık işlevi T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
teorem... Eğer z == F(x; y) - noktada türevlenebilir M (x; y) D işlev
ve x = x (t) ve NS =YT) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T,
sonra karmaşık bir fonksiyonun türevi z (t) == F(x(t);y(t)) formülle hesaplanır
 | (3) |
Özel durum: z = f(x;y), nerede y = y(x), onlar. z = f(x; y(x)) - birinin karmaşık işlevi
bağımsız değişken NS. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü
T oynar NS. Formül (3)'e göre, elimizde:
.
Son formül denir tam türev formülleri.
Genel durum: z = f(x;y), nerede x = x (u; v), y = y (u; v). O zaman z = f (x (u; v); y (u; v)) - karmaşık
bağımsız değişkenlerin işlevi ve ve v. Kısmi türevleri ve bulunabilir
formül (3) aşağıdaki gibi kullanılarak. sabitleme v, onun içinde değiştirin,
karşılık gelen kısmi türevler
Böylece, karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene göre türevi (ve ve v)
bu fonksiyonun (z) ara elemana göre kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir.
değişken (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).
İncelenen tüm durumlarda, aşağıdaki formül geçerlidir
(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).
Örnek. Bul ve, eğer z = F(x, y), burada x = uv,.
z = ƒ (x; y), her biri bağımsız değişken t'nin bir fonksiyonu olan iki değişken x ve y'nin bir fonksiyonu olsun: x = x (t), y = y (t). Bu durumda, z = f (x (t); y (t)) işlevi, bir bağımsız değişken t'nin karmaşık bir işlevidir; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
Teorem 44.4. z = ƒ (x; y), M (x; y) є D noktasında türevlenebilir bir fonksiyon ise ve x = x (t) ve y = y (t), bağımsız değişken t'nin türevlenebilir fonksiyonlarıysa, türev karmaşık fonksiyonun z (t ) = f (x (t); y (t)) formülü ile hesaplanır
Bağımsız değişken t'ye Δt artışını verelim. Daha sonra x = = x (t) ve y = y (t) fonksiyonları sırasıyla Δх ve Δу artışlarını alacaktır. Bunlar da z fonksiyonunun Az artışına neden olacaktır.
Hipotez olarak, z - (x; y) işlevi M (x; y) noktasında türevlenebilir olduğundan, toplam artışı şu şekilde temsil edilebilir:
burada a → 0, β → 0, Δх → 0, Δу → 0 olarak (bkz. madde 44.3). Δz ifadesini Δt'ye bölelim ve Δt → 0 olarak limite geçelim. Sonra Δх → 0 ve Δу → 0, x = x (t) ve y = y (t) fonksiyonlarının sürekliliği nedeniyle (teoremin hipotezi ile türevlenebilirler). Alırız:
Özel bir durum: z = ƒ (x; y), burada y = y (x), yani z = ƒ (x; y (x)) bir bağımsız değişken x'in karmaşık bir fonksiyonudur. Bu durum bir öncekine indirgenir ve t değişkeninin rolü x tarafından oynanır. (44.8) formülüne göre:
Formül (44.9), toplam türev formülü olarak adlandırılır.
Genel durum: z = ƒ (x; y), burada x = x (u; v), y = y (u; v). O halde z = f (x (u; v); y (u; v)), u ve v bağımsız değişkenlerinin karmaşık bir fonksiyonudur. Kısmi türevleri (44.8) formülü kullanılarak aşağıdaki gibi bulunabilir. V'yi sabitleyerek, onu karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiririz 
Benzer şekilde, şunu elde ederiz: 
Böylece, karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene (u ve v) göre türevi, bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin ara değişkenlerine (x ve y) göre ürünlerinin toplamına eşittir. ) karşılık gelen bağımsız değişkene (u ve v) göre türevleri ile.
Örnek 44.5. z = ln (x 2 + y 2), x = u v, y = u / v olup olmadığını bulun.
Çözüm: Formül (44.10) kullanarak dz / du (dz / dv - bağımsız olarak) bulun:
Elde edilen eşitliğin sağ tarafını sadeleştirin:
40. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri ve toplam diferansiyeli.
z = ƒ (x; y) fonksiyonu verilsin. x ve y bağımsız değişkenler olduğundan biri değişebilirken diğeri değerini korur. Bağımsız değişken x'e, y'nin değerini değiştirmeden Δx'lik bir artış verelim. Daha sonra z, x'deki z'nin kısmi artışı olarak adlandırılan ve ∆ x z ile gösterilen bir artış alacaktır. Yani,
Δ x z = ƒ (x + Δx; y) -ƒ (x; y).
Benzer şekilde, z'nin y'ye göre kısmi artışını elde ederiz:
Δ y z = ƒ (x; y + Δy) -ƒ (x; y).
z fonksiyonunun toplam artışı Δz eşitlik ile belirlenir
Δz = ƒ (x + Δx; y + Δy) - ƒ (x; y).
bir sınır varsa
daha sonra buna z = ƒ (x; y) fonksiyonunun M (x; y) noktasında x değişkenine göre kısmi türevi denir ve sembollerden biri ile gösterilir:
M 0 (x 0; y 0) noktasında x'e göre kısmi türevler genellikle sembollerle gösterilir 
z = ƒ (x; y)'nin y değişkenine göre kısmi türevi benzer şekilde tanımlanır ve gösterilir:
Böylece, birkaç (iki, üç veya daha fazla) değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevi, kalan bağımsız değişkenlerin değerlerinin sabit olması koşuluyla, bu değişkenlerden birinin bir fonksiyonunun türevi olarak tanımlanır. Bu nedenle, ƒ (x; y) fonksiyonunun kısmi türevleri, bir değişkenli bir fonksiyonun türevlerini hesaplamak için formüller ve kurallar tarafından bulunur (bu durumda sırasıyla x veya y bir sabit olarak kabul edilir).
Örnek 44.1. z = 2y + e x2-y +1 fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun. Çözüm:
İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı
z = ƒ (x; y) fonksiyonunun grafiği bir yüzeydir (bkz. Alt Bölüm 12.1). z = ƒ (x; y 0) fonksiyonunun grafiği, bu yüzeyin y = y o düzlemiyle kesişme çizgisidir. Tek değişkenli bir fonksiyon için türevin geometrik anlamına dayanarak (bkz. Bölüm 20.2), ƒ "x (xo; yo) = tan a olduğu sonucuna varırız, burada a, Ox ekseni ile teğet arasındaki açıdır. Mo (xo; yo; ƒ (xo; yo)) noktasında z = ƒ (x; y 0) eğrisi (bkz. Şekil 208).
Benzer şekilde, f "y (x 0; y 0) = tanβ.
Z = f (x, y) işlevi, toplam artışı ΔZ Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy + ω (Δx, Δy) olarak gösterilebiliyorsa, P (x, y) noktasında türevlenebilir olarak adlandırılır, burada Δx ve Δy - P, A ve B noktasının bazı komşuluklarında karşılık gelen x ve y argümanlarının herhangi bir artışı sabittir (Δx, Δy'ye bağlı değildir),
ω (Δx, Δy) - mesafeden daha yüksek bir mertebeden sonsuz küçük:
Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse, bu noktadaki toplam artışı iki kısımdan oluşur:
1. A ∙ Δx + B ∙ Δy fonksiyonunun artışının ana kısmı - Δx, Δy'ye göre doğrusal
2. Ve doğrusal olmayan ω (Δx, Δy) - artışın ana kısmından daha yüksek bir derecenin sonsuz küçüklüğü.
Ana bölüm fonksiyon artışları - Δx'e göre doğrusal, Δy, bu fonksiyonun toplam diferansiyeli olarak adlandırılır ve şu şekilde gösterilir:Δz = A ∙ Δx + B ∙ Δy, Δx = dx ve Δy = dy veya iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyeli:
Ekran diferansiyeli. Tek değişkenli sayısal bir fonksiyonun diferansiyel ve türevi. Türev tablosu. farklılaştırılabilirlik. ) → 0 olarak sonsuz küçük bir argüman işlevidir, yani.
Şimdi bir noktada türevlenebilirlik ile aynı noktada türevin varlığı arasındaki bağlantıyı açıklığa kavuşturalım.
teorem. Fonksiyon için F(x) bu noktada türevlenebilirdi NS , bu noktada sonlu bir türevinin olması gerekli ve yeterlidir.
Türev tablosu.
z - f (x, y) fonksiyonu x0y düzleminde bir D etki alanında tanımlansın. D alanından bir iç nokta (x, y) alın ve x'e, (x + Ax, y) 6 D olacak şekilde bir Ax artışı verin (Şekil 9). Miktar, z fonksiyonunun x'e göre kısmi artışı olarak adlandırılacaktır. Belirli bir (x, y) noktası için bağıntıyı oluşturalım, bu bağıntı Tanımın bir fonksiyonudur. Ax - * 0 için ^ oranının sonlu bir limiti varsa, bu limite z = f (x, y) fonksiyonunun (x, y) noktasında x bağımsız değişkenine göre kısmi türevi denir ve jfc (veya / i (x, jj ) veya z "x (x, Bu nedenle, tanım gereği veya aynı olan) sembolü ile gösterilir, Benzer şekilde, If ve n bağımsız değişkenin bir fonksiyonu ise, o zaman Arz'ın y değişkeninin değişmeyen değeri ve Atz - değişken x'in değişmeyen değeri ile hesaplanır, kısmi türevlerin tanımları aşağıdaki gibi formüle edilebilir: Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Türevlenebilirlik çok değişkenli bir fonksiyon Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Kısmi türevin karmaşık bir fonksiyonunun z = / (x, y) fonksiyonunun x'e göre türevleri ) bu fonksiyonun x'e göre olağan türevidir, y'nin sabit olduğu varsayımı altında hesaplanmıştır; z - / (x) fonksiyonunun y'ye göre kısmi türevidir. , y), x'in sabit olduğu varsayımı altında hesaplanan y'ye göre türevi olarak adlandırılır. Kısmi türevleri hesaplama kurallarının, tek değişkenli bir fonksiyon için kanıtlanmış kurallarla örtüştüğü sonucu çıkar. Örnek. 4 İkamelerimiz Var * fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun. Tüm argümanlara göre kısmi türevlerin belirli bir noktasında z = f (x, y) fonksiyonunun varlığı, fonksiyonun bu noktada sürekliliğini engellemez. Yani fonksiyon 0 (0,0) noktasında sürekli değildir. Ancak bu noktada belirtilen fonksiyonun x'e ve y'ye göre kısmi türevleri vardır. Bu, / (x, 0) = 0 ve / (0, y) = 0 olduğu gerçeğinden ve dolayısıyla iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamından kaynaklanır. f (x, y)'nin bir fonksiyon olduğu, bazı D bölgesinde sürekli olduğu ve orada x'e ve y'ye göre kısmi türevleri olan denklem. Bu türevlerin z = f (x) y) yüzeyinde f (x0) yo) noktasına karşılık gelen Mo (xo, yo) 6 D noktasındaki geometrik anlamlarını açıklayalım. М0 noktasında kısmi türevi bulurken, z'nin yalnızca x argümanının bir fonksiyonu olduğunu, y argümanının ise y = yo sabit değerini koruduğunu, yani fi (x) fonksiyonunun eğri tarafından geometrik olarak gösterildiğini varsayıyoruz. S yüzeyinin yaklaşık olarak y = düzlemiyle kesiştiği L. Bir değişken f \ (xo) = tan a fonksiyonunun türevinin geometrik anlamı sayesinde, burada a, Ox ekseni ile JV0 noktasında L çizgisine teğet tarafından oluşturulan açıdır (Şekil 10). . Ancak böylece, kısmi türev ($ |), Ox ekseni ile N0 noktasındaki tanjant arasındaki a açısının z = f (x, y) yüzeyinin bölümünde elde edilen eğriye tanjantına eşittir. y düzlemi Benzer şekilde, §6'yı elde ederiz. Birkaç değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği z = f (x, y) fonksiyonu xOy düzleminde bir D alanında tanımlansın. Bir (x, y) € D noktası alın ve seçilen x ve y değerlerine Ax ve Du'nun herhangi bir artışını veriyoruz, ancak bu nokta öyle. Tanım. Bir r = f (x, y) işlevine türevlenebilir bir * noktası (x, y) € 2E denir, eğer bu işlevin argümanların Δx, Δy artışlarına karşılık gelen toplam artışı, A ve B'nin olduğu biçimde temsil edilebilirse Δx ve Δy'ye bağlı değildir (ancak genellikle x ve y'ye bağlıdır) ve a (Dx, Du) ve /? (Dx, Du) Dx ve Du sıfıra eğilim gösterdiğinden, sıfır olma eğilimindedir. ... Eğer z = f (x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilirse, fonksiyonun Dx ve Dy'ye göre lineer artışının A Dx 4-BDy kısmına toplam diferansiyel denir. Bu fonksiyonun (x, y) noktasında bulunur ve dz sembolü ile gösterilir: Bir bakıma Örnek. r = x2 + y2 olsun. Herhangi bir noktada (z, y) ve herhangi bir Dx ve Dy için Buradayız. a ve / 3'ün sıfıra, Dx ve Du'nun da sıfıra meyilli olması gibi. Tanım olarak, bu işlev xOy düzleminde herhangi bir noktada türevlenebilir. Akıl yürütmemizde, Dx, Dy artışları ayrı ayrı veya hatta her ikisi birden sıfıra eşit olduğunda, durumun resmi olarak hariç tutulmadığına dikkat edilmelidir. Formül (1) ifadesini (noktalar arasındaki mesafeyi (Kullanarak yazabiliriz.) Du 0 veya kısaca p 0 ise yazabilirsek daha kompakt yazılabilir. Formül (1), koşulunu ifade eder. (x, y) noktasında z = f (xt y) fonksiyonunun türevlenebilirliği şimdi yukarıdaki örnek 6.1'de So şeklinde yazılabilir. türevlenebilir bir fonksiyon Teoremi 4. Eğer bir fonksiyon z = f (x, y) bir noktada türevlenebilir, o zaman bu noktada süreklidir. i fonksiyonunun bu noktada artışı, argümanların J ve Dy artışlarına karşılık gelen "" e, f (x, y) süreklidir Teorem b. Eğer bir r = f (x, y) fonksiyonu verilen bir noktada türevlenebilirse, bu noktada $gu kısmi türevleri vardır. z = f (x, y) fonksiyonu (x, y) noktasında türevlenebilir olsun. Ardından, bu fonksiyonun argümanların Δx, Ay artışlarına karşılık gelen ^ Δz artışı (1) şeklinde gösterilebilir. (1) Dx Φ 0, Dy = 0 eşitliğini alarak, son eşitliğin sağ tarafında A'nın değeri bağımlı olmadığı için, bu, (x, y) noktasında olduğu anlamına gelir. r = f (x, y) fonksiyonunun x'e göre kısmi bir türevi ve aynı mantıkla görebiliriz (x, zy fonksiyonunun kısmi bir türevi vardır ve teoremden şunu vurguladığımız sonucu çıkar: Teorem 5, kısmi türevlerin yalnızca (x, y) noktasında varlığını iddia eder, ancak bu noktadaki sürekliliklerinin yanı sıra (x, y) noktasının bir komşuluğundaki davranışları hakkında hiçbir şey söylemez. 6.2 Yeterli koşullar birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için Bilindiği gibi, bir x0 noktasında bir değişkenin y = f (x) fonksiyonunun türevlenebilirliği için gerekli ve yeterli bir koşul, f "(x)'de bir sonlu türevinin varlığıdır. x0 noktası Fonksiyonun birkaç değişkene bağlı olduğu durumda, durum çok daha karmaşıktır: iki bağımsız değişken x, y'nin z = f (x, y) fonksiyonu için gerekli ve yeterli türevlenebilirlik koşulları yoktur; ben mi Gerekli koşulları ayrı ayrı arayın (bkz. yukarıda) ve ayrı olarak - yeterli. Birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için bu yeterli koşullar aşağıdaki teorem ile ifade edilir. Teorem c. Eğer fonksiyonun ince (xo, yo) bazı mahallelerinde f £ ve f "v kısmi türevleri varsa ve bu türevler (xo, yo) noktasında sürekli ise, o zaman z = f (x, y) fonksiyonu türevlenebilirdir. noktasında (x- Örnek: Fonksiyonu düşünün Kısmi türevler İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin geometrik anlamı Birkaç değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Birkaç fonksiyonun türevlenebilirliği için yeterli koşullar değişkenler Toplam diferansiyel Kısmi diferansiyeller Karmaşık bir fonksiyonun türevleri Her yerde tanımlanır.Verilen fonksiyonu 0 (0,0) noktasında buluyoruz ve bunun artması keskinleşiyor Fonksiyonun türevlenebilirliği için f(x,y) = at 0 (0,0) noktasında, e (Dx, Dy) fonksiyonunun Dx 0 ve Dy 0'da küçük olması gerekir. , y) = bu noktada fa ve f "r olmasına rağmen 0 (0,0) noktasında türevlenebilir değildir. sonuç, f "z ve f" t türevlerinin §7 noktasında süreksiz olmasıyla açıklanır. Tam diferansiyel. Kısmi Diferansiyeller z - f (z> y) fonksiyonu türevlenebilir ise, diferansiyeli dz'ye eşittir. i - 1n (x + y2) olsun. O halde Benzer şekilde, eğer u =) n bağımsız değişkenli türevlenebilir bir fonksiyon ise, o zaman İfadeye z = f (x, y) fonksiyonunun x değişkenine göre yalın diferansiyeli denir; ifadeye z = f (x, y) değişken y fonksiyonunun kısmi diferansiyeli denir. Formül (3), (4) ve (5)'ten, bir fonksiyonun toplam diferansiyeli, onun kısmi diferansiyellerinin toplamıdır: z = f (x, y) fonksiyonunun toplam artışının Az olduğuna dikkat edin, genellikle konuşma, kısmi artışların toplamına eşit değildir. Bir (x, y) noktasında z = f (x, y) fonksiyonu türevlenebilirse ve bu noktada diferansiyel dz Φ 0 ise, toplam artışı lineer kısmından yalnızca son terimlerin toplamı kadar farklıdır ve 0 ve Ay - »0 lineer kısmın terimlerinden daha yüksek derecede sonsuz küçüktür. Bu nedenle, dz Ф 0'da, türevlenebilir fonksiyonun artışının doğrusal kısmı, fonksiyonun artışının ana kısmı olarak adlandırılır ve yaklaşık bir formül kullanılır; bu, daha doğru olacak, mutlak değerde artışlar ne kadar küçükse argümanlar şunlardır. §sekiz. Karmaşık bir fonksiyonun türevleri 1. Fonksiyonun x0y düzleminde bir D etki alanında tanımlanmasına izin verin ve x, y değişkenlerinin her biri sırayla t argümanının bir fonksiyonudur: Aralıkta t değiştiğinde varsayıyoruz. (karşılık gelen noktalar (x, y) D alanının dışında değildir. Değerleri z = f (x, y) fonksiyonuna koyarsak, o zaman bir değişken t'nin karmaşık bir fonksiyonunu elde ederiz. ve karşılık gelen için değerler f (x, y) fonksiyonunun türevlenebilir, daha sonra t noktasındaki karmaşık fonksiyonun bir türevi vardır ve t'ye bir Δt artışı veririz.Sonra x ve y, Ax ve Δy'nin bazı artışlarını alır. sonuç olarak, (J) 2 + (Δy) 2 Φ 0 için, z işlevi ayrıca z = / (x , y) fonksiyonunun (x, y) noktasındaki türevlenebilirliği nedeniyle belirli bir Δt artışı alacaktır. ), a) Ax ve Du'nun sıfıra meyilli olduğu gibi sıfıra eğilimli olduğu biçimde temsil edilebilir. Ax = Ay = 0 için a ve / 3'ü a ayarlayarak genişletelim O zaman a (J = Du = 0 için sürekli olacaktır. Verilen bir bağıntının sabit olduğunu düşünün, hipoteze göre türevlerin varlığından sınırlar vardır ^ ve ζ noktasında, x = y (t) ve y = fonksiyonlarının bu noktasındaki sürekliliği takip eder, bu nedenle, 0'da olduğu gibi, hem J hem de Dy sıfıra eğilimlidir, bu da sırasıyla sıfır a (Dx, Du) eğilimini gerektirir. ve P (Ax, Ay) Böylece, sağ kısım eşitlik (2)'nin 0'da bir limiti vardır Dolayısıyla, At 0'da bulunur ve (2)'nin sol tarafında limit bulunur, yani, eşitlikte (2) limite At - » olarak eşit bir Geçiş vardır 0, gerekli formülü elde ederiz. Özel durumda, sonuç olarak, z, x'in karmaşık bir fonksiyonu olduğunda, formül (5)'te x'e göre kısmi bir türev funadiq = f (x, y) olduğunu elde ederiz. f (x, y) ifadesinde y bağımsız değişkeninin sabit olarak alındığını hesaplayarak. Ve f (x, y) ifadesindeki y'nin artık sabit olarak alınmadığı, ancak sırayla bir fonksiyon olarak kabul edildiği hesaplamada, bağımsız değişken x'e göre z fonksiyonunun toplam türevi vardır. of x: y = tp (x) t ve bu nedenle z'nin kuyuya bağımlılığı tam olarak dikkate alınır. Örnek. Bul ve jg ise 2. Şimdi birkaç değişkenli karmaşık bir fonksiyonun türevini ele alalım. Diyelim ki (() noktasında u, 3 sürekli kısmi türevler var mı? Ve f (x, y) fonksiyonunun türevlenebilir olduğu karşılık gelen (x, y) noktasında. bu koşullar altında t7 noktasındaki karmaşık z = z (() y) fonksiyonunun türevleri ve u olduğunu gösterin ve bu türevler için ifadeler buluyoruz. Bu vakanın daha önce incelenenden önemli ölçüde farklı olmadığını unutmayın. Gerçekten de, z, ζ'ye göre türevlendiğinde, ikinci bağımsız değişken rj bir sabit olarak alınır, bunun sonucunda x ve y, bu işlem altında bir değişken x '= c) y = c) fonksiyonu haline gelir ve türev sorunu, formül (3)'ün türetilmesinde türev sorunuyla tamamen aynı şekilde çözülür, formül (3) kullanılarak ve g ve g türevlerini formel olarak u türevleriyle değiştiririz ve benzer şekilde elde ederiz. , buluruz Örnek: z = x2 y - xy fonksiyonunun kısmi türevlerini bulun eğer x - y = Eğer karmaşık bir fonksiyon formüllerle verilmişse, bu yüzden uygun koşullar altında elimizdeki özel durumda I = nerede Kısmi türevler Geometrik iki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevlerinin anlamı Birkaç değişkenli bir fonksiyonun türevlenebilirliği Bir fonksiyonun türevlenebilirliği için gerekli koşullar Birkaç değişkenli fonksiyonların türevlenebilirliği için yeterli koşullar Toplam diferansiyel Karmaşık bir fonksiyonun türevleri Burada m toplam kısmidir fonksiyonun türevi ve bağımsız değişken x ile ilgili olarak, z = z (x, y) dahil ve cinsinden, her ikisinin de x'e tam bağımlılığını hesaba katarak, a ^ bir kısmi türev fonksiyonudur, u = f (z, y, z) x'e göre, k hesaplanırken
1 °. Bir bağımsız değişkenin durumu... Eğer z = f (x, y), bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları olan x ve y argümanlarının türevlenebilir bir fonksiyonu ise T:, sonra karmaşık bir fonksiyonun türevi 
formülle hesaplanabilir
Örnek. Varsa, nerede bulun.
Çözüm. Formül (1) ile elimizde:
Bir örnek. Aşağıdaki durumlarda kısmi türevi ve toplam türevi bulunuz. 
.
Çözüm. ...
Formül (2)'ye dayanarak, şunu elde ederiz: 
.
2°. Birkaç bağımsız değişkenin durumu.
İzin vermek z =F (x;y) - iki değişkenli fonksiyon NS ve y, her biri bağımsız değişkenin bir fonksiyonudur t: x =x (t), y =y (T). Bu durumda, fonksiyon z =F (x (T);y (T)) bir bağımsız değişkenin karmaşık bir fonksiyonudur T; değişkenler x ve y ara değişkenlerdir.
teorem... Eğer z == F(x; y) - noktada türevlenebilir M (x; y)NS fonksiyon ve x =x (T) ve NS =y (T) - bağımsız değişkenin türevlenebilir fonksiyonları T, sonra karmaşık bir fonksiyonun türevi z (T) == F(x (T);y (T)) formülle hesaplanır
|
|
Özel bir durum:z = F (x; y), nerede y = y(x), onlar. z = F (x;y (x)) - bir bağımsız değişkenin karmaşık işlevi NS. Bu durum bir öncekine indirgenir ve değişkenin rolü T oynar NS. Formül (3)'e göre, elimizde:
.
Son formül denir tam türev formülleri.
Genel dava:z = F (x;y), nerede x =x (sen;v),y =y (sen;v). O zaman z = F (x (sen;v);y (sen;v)) - bağımsız değişkenlerin karmaşık işlevi ve ve v. Kısmi türevleri ve formül (3) kullanılarak aşağıdaki gibi bulunabilir. sabitleme v, karşılık gelen kısmi türevlerle değiştiriyoruz
Böylece, karmaşık bir fonksiyonun (z) her bağımsız değişkene göre türevi (ve ve v) ara değişkenlere göre bu fonksiyonun (z) kısmi türevlerinin çarpımlarının toplamına eşittir. (x ve y) karşılık gelen bağımsız değişkene göre türevlerine (u ve v).
İncelenen tüm durumlarda, aşağıdaki formül geçerlidir
(toplam diferansiyelin değişmezlik özelliği).
Örnek. Bul ve, eğer z = F(x, y), burada x = uv,.
Çözüm. (4) ve (5) formüllerini uygulayarak şunları elde ederiz:
Örnek. Fonksiyonun denklemi sağladığını gösterin 
.
Çözüm. İşlev, bir ara argüman aracılığıyla x ve y'ye bağlıdır, bu nedenle
Kısmi türevleri denklemin sol tarafında yerine koyarsak:
Yani, z fonksiyonu bu denklemi sağlar.
Belirli bir yönde türev ve fonksiyonun gradyanı
1 °. Belirli bir yönde bir fonksiyonun türevi. Türev fonksiyon z = F(x, y) bu yönde aranan 
, nerede ve noktalarda fonksiyonun değerleri ve. z fonksiyonu türevlenebilir ise, formül
yönler arasındaki açılar nerede ben ve ilgili koordinat eksenleri. Belirli bir yöndeki türev, fonksiyonun bu yöndeki değişim oranını karakterize eder.
Örnek. z = 2x 2 - 3y 2 fonksiyonunun P (1; 0) noktasında OX ekseni ile 120° açı yapacak şekilde türevini bulunuz.
Çözüm. Bu fonksiyonun kısmi türevlerini ve P noktasındaki değerlerini bulalım.