Sorunun formülasyonu

Atama, kullanıcının determinant ve ters matris gibi sayısal yöntemlerin temel kavramlarına aşina olduğunu varsayar ve Farklı yollar onların hesaplamaları. Bu teorik raporda, basit ve erişilebilir bir dille, temel kavramlar ve tanımlar ilk olarak tanıtılmakta ve buna dayanarak daha fazla araştırma gerçekleştirilmektedir. Kullanıcı, sayısal yöntemler ve lineer cebir alanında özel bilgiye sahip olmayabilir, ancak bu çalışmanın sonuçlarından kolayca yararlanabilir. Anlaşılır olması için, bir matrisin determinantını çeşitli yöntemlerle hesaplamak için C++ programlama dilinde yazılmış bir program sunulmuştur. Program, rapor için illüstrasyonlar oluşturmak için bir laboratuvar tezgahı olarak kullanılır. Ayrıca, lineer cebirsel denklem sistemlerini çözme yöntemleri üzerinde araştırmalar yürütülmektedir. Ters matrisi hesaplamanın yararsızlığı kanıtlanmıştır, bu nedenle çalışma, denklemleri hesaplamadan çözmek için daha optimal yöntemler sağlar. Makale, determinantları ve ters matrisleri hesaplamak için neden bu kadar çok farklı yöntem olduğunu açıklıyor ve dezavantajlarını tartışıyor. Determinantın hesaplanmasındaki hatalar da dikkate alınır ve elde edilen doğruluk tahmin edilir. Çalışma, Rusça terimlere ek olarak, kütüphanelerde sayısal prosedürlerin hangi isimler altında aranacağını ve parametrelerinin ne anlama geldiğini anlamak için İngilizce eşdeğerlerini de kullanır.

Temel tanımlar ve en basit özellikler

determinant

Herhangi bir mertebeden bir kare matrisin determinantının tanımını verelim. Bu tanım olacak tekrarlayan yani mertebe matrisinin determinantının ne olduğunu belirlemek için, mertebe matrisinin determinantının ne olduğunu zaten bilmek gerekir. Determinantın yalnızca kare matrisler için mevcut olduğuna da dikkat edin.

Bir kare matrisin determinantı veya det ile gösterilecektir.

Tanım 1. determinant Kare matris ikinci mertebe sayıdır .

determinant sıralı kare matrise sayı denir

ilk satır ve numaralı sütun silinerek matristen elde edilen sıra matrisinin determinantı nerededir.

Netlik için, dördüncü dereceden bir matrisin determinantını nasıl hesaplayabileceğinizi yazıyoruz:

Yorum Yap. Tanıma dayalı olarak daha yüksek mertebeden üç matrisler için determinantların gerçek hesaplaması, istisnai durumlarda kullanılır. Kural olarak, hesaplama, daha sonra tartışılacak olan ve daha az hesaplama çalışması gerektiren diğer algoritmalara göre gerçekleştirilir.

Yorum Yap. Tanım 1'de determinantın mertebeden kare matrisler kümesi üzerinde tanımlanan ve sayılar kümesinde değerler alan bir fonksiyon olduğunu söylemek daha doğru olacaktır.

Yorum Yap. Literatürde "determinant" terimi yerine aynı anlama gelen "determinant" terimi de kullanılmaktadır. "Belirleyici" kelimesinden atama det ortaya çıktı.

İfadeler şeklinde formüle ettiğimiz determinantların bazı özelliklerini ele alalım.

Açıklama 1. Matris transpoze edildiğinde, determinant değişmez, yani.

Açıklama 2. Kare matrislerin çarpımının determinantı, faktörlerin determinantlarının çarpımına eşittir, yani.

Açıklama 3. Bir matriste iki satır yer değiştirirse, determinantı işaret değiştirir.

Açıklama 4. Bir matrisin iki özdeş satırı varsa, determinantı sıfırdır.

Gelecekte, dizeler eklememiz ve bir dizeyi bir sayı ile çarpmamız gerekiyor. Bu işlemleri satırlar (sütunlar) üzerinde, satır matrisleri (sütun matrisleri) üzerindeki işlemlerle aynı şekilde yani eleman bazında gerçekleştireceğiz. Sonuç, kural olarak orijinal matrisin satırlarıyla çakışmayan bir satır (sütun) olacaktır. Satır (sütun) ekleme ve bir sayı ile çarpma işlemleri varsa, satırların (sütunların) doğrusal kombinasyonlarından, yani sayısal katsayılı toplamlardan da bahsedebiliriz.

Açıklama 5. Bir matris satırı bir sayı ile çarpılırsa, determinantı bu sayı ile çarpılır.

Açıklama 6. Matris sıfır satır içeriyorsa, determinantı sıfırdır.

Açıklama 7. Matrisin satırlarından biri diğerine eşitse, bir sayı ile çarpılırsa (satırlar orantılıdır), o zaman matrisin determinantı sıfırdır.

Açıklama 8. Matristeki i-inci satır forma sahip olsun. Daha sonra, matrisin i-inci satırı bir satırla değiştirerek matristen elde edildiği ve matris - i-inci satırı bir satırla değiştirerek.

Açıklama 9. Matrisin satırlarından birine bir sayı ile çarparak bir başkasını eklerseniz, matrisin determinantı değişmez.

Açıklama 10. Bir matrisin satırlarından biri, diğer satırlarının doğrusal bir kombinasyonu ise, matrisin determinantı sıfırdır.

Tanım 2. cebirsel tamamlayıcı matris elemanına eşit bir sayıdır, burada i. satır ve j. sütun silinerek matristen elde edilen matrisin determinantı bulunur. Bir matris elemanının cebirsel tamamlayıcısı ile gösterilir.

Örnek.İzin vermek ... Sonra

Yorum Yap. Cebirsel eklemeler kullanılarak determinantın 1. tanımı aşağıdaki gibi yazılabilir:

Açıklama 11. Rasgele bir dize boyunca determinantın ayrıştırılması.

Matrisin determinantı formülü karşılar

Örnek. Hesaplamak .

Çözüm.Üçüncü satırdaki ayrıştırmayı kullanalım, daha karlı, çünkü üçüncü satırda üç sayıdan ikisi sıfırdır. alırız

Açıklama 12. Dereceli bir kare matris için aşağıdaki bağıntı geçerlidir: .

Açıklama 13. Satırlar için formüle edilen determinantın tüm özellikleri (1 - 11 ifadeleri) sütunlar için de geçerlidir, özellikle determinantın j. sütundaki ayrışması geçerlidir. ve eşitlik NS .

Açıklama 14.Üçgen matrisin determinantı, ana köşegeninin elemanlarının çarpımına eşittir.

Sonuç. Kimlik matrisinin determinantı bire eşittir.

Çıktı. Yukarıda listelenen özellikler, nispeten az miktarda hesaplama ile yeterince yüksek dereceli matrislerin belirleyicilerini bulmayı mümkün kılar. Hesaplama algoritması aşağıdaki gibidir.

Bir sütunda sıfır oluşturmak için algoritma. Sıranın determinantını hesaplamak istensin. Eğer öyleyse, ilk satırı ve ilk elemanın sıfır olmadığı diğer satırları değiştireceğiz. Sonuç olarak, determinant, zıt işaretli yeni matrisin determinantına eşit olacaktır. Her satırın ilk elemanı sıfıra eşitse, matrisin bir sıfır sütunu vardır ve 1, 13 ifadelerine göre determinantı sıfıra eşittir.

Yani, bunu zaten orijinal matriste düşünüyoruz. İlk satırı değiştirmeden bırakın. İkinci satıra bir sayı ile çarpılan ilk satırı ekleyin. Sonra ikinci satırın ilk elemanı olacak .

Yeni ikinci satırın geri kalan öğeleri ile gösterilecektir. İfade 9'a göre yeni matrisin determinantı dir. İlk satır bir sayı ile çarpılır ve üçüncüye eklenir. Yeni üçüncü satırın ilk öğesi,

Yeni üçüncü satırın geri kalan öğeleri ile gösterilecektir. İfade 9'a göre yeni matrisin determinantı dir.

Çizgilerin ilk elemanları yerine sıfır alma işlemine devam edeceğiz. Son olarak, ilk satır bir sayı ile çarpılır ve son satır... Sonuç olarak, bir matris elde edilir, forma sahip olduğunu belirtiriz.

Dahası. Matrisin determinantını hesaplamak için ilk sütundaki genişlemeyi kullanırız.

O zamandan beri

Sıra matrisinin determinantı sağ taraftadır. Ona da aynı algoritma uygulanır ve matrisin determinantının hesaplanması, sıra matrisinin determinantının hesaplanmasına indirgenir. Tanım gereği hesaplanan ikinci dereceden determinanta ulaşana kadar işlemi tekrarlıyoruz.

Matrisin herhangi bir spesifik özelliği yoksa, önerilen algoritmaya kıyasla hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltmak mümkün değildir. Bu algoritmanın bir başka iyi yanı da, büyük dereceli matrislerin determinantlarını hesaplamak için bir bilgisayar programı oluşturmak için kullanılmasının kolay olmasıdır. V standart programlar Belirleyicileri hesaplarken, bu algoritma bilgisayar hesaplamalarında yuvarlama hatalarının ve giriş veri hatalarının etkisini en aza indirgemekle ilgili küçük değişikliklerle kullanılır.

Örnek. Bir matrisin determinantını hesaplayın .

Çözüm.İlk satırı değiştirmeden bırakın. İkinci satıra, ilkini bir sayı ile çarparak ekleyin:

Determinant değişmez. Üçüncü satıra ilkini bir sayı ile çarparak ekliyoruz:

Determinant değişmez. Dördüncü satıra, ilkini bir sayı ile çarparak ekleyin:

Determinant değişmez. Sonuç olarak, alıyoruz

Aynı algoritmayı kullanarak, sağdaki 3. dereceden matrisin determinantını hesaplıyoruz. İlk satırı değiştirmeden bırakıyoruz, ikinci satıra ilkini ekliyoruz, bir sayı ile çarpıyoruz :

Üçüncü satıra, ilkini sayıyla çarparak ekliyoruz. :

Sonuç olarak, alıyoruz

Cevap. .

Yorum Yap. Hesaplamalarda kesirler kullanılmasına rağmen sonuç bir tam sayıydı. Gerçekten de, determinantların özelliklerini kullanarak ve orijinal sayıların tamsayı olduğu gerçeğini kullanarak, kesirli işlemlerden kaçınılabilirdi. Ancak mühendislik pratiğinde sayılar nadiren tamdır. Bu nedenle, kural olarak, determinantın öğeleri ondalık kesirler olacaktır ve hesaplamaları basitleştirmek için bazı hileler kullanmak pratik değildir.

ters matris

Tanım 3. matris denir ters matris bir kare matris için ise.

Tanımdan, ters matrisin, matrisle aynı sırada bir kare matris olacağı sonucu çıkar (aksi takdirde, ürünlerden biri veya tanımlanmaz).

Matris için ters matris ile gösterilir. Böylece, varsa, o zaman.

Ters matris tanımından, matrisin matrisin tersi olduğu, yani. Matrisler hakkında ve birbirlerine ters veya karşılıklı olarak ters olduklarını söyleyebiliriz.

Bir matrisin determinantı sıfır ise tersi yoktur.

Maritsa'nın determinantının sıfıra eşit olup olmadığının ters matrisini bulmak önemli olduğundan, aşağıdaki tanımları sunuyoruz.

Tanım 4. kare matris denir dejenere veya özel matris, Eğer dejenere olmayan veya tekil olmayan matris, Eğer .

Beyan. Ters matris varsa, benzersizdir.

Beyan. Bir kare matris dejenere değilse, tersi vardır ve (1) öğelerin cebirsel tamamlayıcıları nerede.

Teorem. Bir kare matris için ters matris, yalnızca ve yalnızca matris dejenere değilse, ters matris benzersizse ve formül (1) geçerliyse mevcuttur.

Yorum Yap. Ters matris formülünde cebirsel eklemelerin kapladığı yerlere özel dikkat gösterilmelidir: ilk indeks sayıyı gösterir. kolon ve ikincisi sayı Teller, hesaplanan cebirsel tamamlayıcıyı yazmanız gereken.

Örnek. .

Çözüm. determinantı bul

Çünkü matris dejenere değildir ve tersi vardır. Cebirsel tamamlayıcıları bulun:

Ters matrisi oluştururuz, bulunan cebirsel tamamlayıcıları, ilk indeks bir sütuna, ikincisi bir satıra karşılık gelecek şekilde yerleştiririz: (2)

Ortaya çıkan matris (2), sorunun cevabıdır.

Yorum Yap. Bir önceki örnekte cevabı şu şekilde yazmak daha doğru olacaktır:
(3)

Ancak (2) gösterimi daha kompakttır ve gerekirse onunla daha fazla hesaplama yapmak daha uygundur. Bu nedenle, matrislerin elemanları tamsayı ise cevabı (2) şeklinde yazmak tercih edilir. Tersine, matrisin elemanları ondalık kesirler ise, ters matrisi önünde bir faktör olmadan yazmak daha iyidir.

Yorum Yap. Ters matrisi bulurken, son matriste cebirsel tamamlayıcıları düzenlemek için oldukça fazla hesaplama ve alışılmadık kural yapmanız gerekir. Bu nedenle, yüksek bir hata olasılığı vardır. Hatalardan kaçınmak için bir kontrol yapmalısınız: orijinal matrisin çarpımını ve son olanı bir sırayla hesaplayın. Sonuç birim matris ise, tersi doğru olarak bulunur. Aksi takdirde, bir hata aramanız gerekir.

Örnek. Bir matrisin tersini bulun .

Çözüm. - var.

Cevap: .

Çıktı. Formül (1) ile ters matrisi bulmak çok fazla hesaplama gerektirir. Bu, dördüncü dereceden ve daha yüksek matrisler için kabul edilemez. Ters matrisi bulmak için gerçek algoritma daha sonra verilecektir.

Gauss yöntemini kullanarak determinant ve ters matrisin hesaplanması

Gauss yöntemi, matrisin determinantını ve tersini bulmak için kullanılabilir.

Yani, matrisin determinantı det'e eşittir.

Ters matris, Gauss eleme yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözerek bulunur:

Kimlik matrisinin j-inci sütunu nerede, gerekli vektördür.

Elde edilen çözüm vektörleri - o zamandan beri açıkça matrisin sütunlarını oluşturur.

determinant formülleri

1. Matris dejenere değilse, o zaman ve (pivot elemanların ürünü).

Yüksek matematikte problem çözme sürecinde, çoğu zaman gereklidir. bir matrisin determinantını hesaplamak... Bir matrisin determinantı lineer cebir, analitik geometri, matematiksel analiz ve yüksek matematiğin diğer dallarında görünür. Bu nedenle, belirleyicileri çözme becerisi olmadan kimse yapamaz. Ayrıca, kendi kendini test etmek için, bir determinant hesaplayıcısını ücretsiz olarak indirebilirsiniz, kendi başına size determinantları nasıl çözeceğinizi öğretmez, ancak çok uygundur, çünkü doğru cevabı önceden bilmek her zaman faydalıdır!

Determinantın katı bir matematiksel tanımını vermeyeceğim ve genel olarak matematiksel terminolojiyi en aza indirmeye çalışacağım, çoğu okuyucu için bunu kolaylaştırmayacak. Bu makalenin amacı size ikinci, üçüncü ve dördüncü mertebeden determinantları nasıl çözeceğinizi öğretmektir. Tüm materyaller basit ve erişilebilir bir biçimde sunulur ve yüksek matematikte dolu (boş) bir çaydanlık bile, materyalin dikkatli bir şekilde incelenmesinden sonra belirleyicileri doğru bir şekilde çözebilir.

Pratikte, çoğu zaman ikinci dereceden bir determinant bulabilirsiniz, örneğin: ve üçüncü mertebeden bir determinant, örneğin: .

Dördüncü mertebenin determinantı ayrıca antika değil ve buna dersin sonunda geleceğiz.

Umarım herkes aşağıdakileri anlar: Determinantın içindeki sayılar kendi başlarına yaşar ve herhangi bir çıkarma söz konusu değildir! Numaraları değiştiremezsiniz!

(Özellikle, işaretinde bir değişiklik olan bir determinantın satır veya sütunlarının eşleştirilmiş permütasyonlarını gerçekleştirmek mümkündür, ancak çoğu zaman bu gerekli değildir - bir sonraki derse bakın Bir determinantın özellikleri ve sırasını düşürme)

Böylece, herhangi bir determinant verilirse, o zaman içindeki hiçbir şeye dokunmayın!

Tanımlamalar: Bir matris verilirse , daha sonra determinantı gösterilir. Ayrıca, sıklıkla determinant bir Latin harfi veya Yunanca ile gösterilir.

1)Bir determinantı çözmek (bulmak, ortaya çıkarmak) ne anlama gelir? Determinantın hesaplanması, SAYININ BULMASI anlamına gelir. Yukarıdaki örneklerdeki soru işaretleri tamamen sıradan sayılardır.

2) Şimdi anlamaya devam ediyor BU NUMARA NASIL BULABİLİRİM? Bunu yapmak için, şimdi tartışılacak olan belirli kuralları, formülleri ve algoritmaları uygulamanız gerekir.

"İki" ile "iki" arasındaki niteleyici ile başlayalım:

BU, en azından üniversitedeki yüksek matematik eğitimi sırasında UNUTMALIDIR.

Hemen bir örneğe bakalım:

Hazır. En önemli şey İŞARETLERDE KARŞILAŞMAMAKTIR.

Üçe üç matrisin determinantı 8 şekilde açılabilir, 2 tanesi basit ve 6 tanesi normaldir.

iki taneyle başlayalım basit yollar

"İkiye iki" niteleyicisine benzer şekilde, "üçe üç" niteleyicisi aşağıdaki formül kullanılarak genişletilebilir:

Formül uzundur ve dikkatsizlikten hata yapmak kolaydır. Can sıkıcı hatalardan nasıl kaçınılır? Bunun için, determinantı hesaplamak için, aslında ilkiyle çakışan ikinci bir yöntem icat edildi. Sarrus yöntemi veya "paralel şeritler" yöntemi olarak adlandırılır.
Sonuç olarak, determinantın sağında, birinci ve ikinci sütunlar atanır ve çizgiler bir kalemle düzgün bir şekilde çizilir:

"Kırmızı" köşegenlerdeki çarpanlar "artı" işaretiyle formüle dahil edilmiştir.
"Mavi" köşegenler üzerindeki faktörler, eksi işaretiyle formüle dahil edilir:

Örnek:

İki çözümü karşılaştırın. Bunun BİR VE AYNI olduğunu görmek kolaydır, sadece ikinci durumda formülün çarpanları hafifçe yeniden düzenlenir ve en önemlisi, hata yapma olasılığı çok daha azdır.

Şimdi determinantı hesaplamanın altı normal yoluna bakalım.

Neden normal? Çünkü davaların ezici çoğunluğunda, niteleyicilerin bu şekilde açıklanması gerekiyor.

Gördüğünüz gibi, üçe üç niteleyicinin üç sütunu ve üç satırı vardır.
Determinant genişletilerek çözülebilir. herhangi bir satıra veya herhangi bir sütuna göre.
Böylece 6 yöntem elde edilirken, her durumda kullanılır. aynı tip algoritma.

Matrisin determinantı, karşılık gelen cebirsel tamamlayıcılar tarafından satırın (sütun) öğelerinin ürünlerinin toplamına eşittir. Korkuyla mı? Her şey çok daha basit, matematikten uzak bir kişinin bile erişebileceği, bilimsel olmayan ama anlaşılır bir yaklaşım kullanacağız.

Bir sonraki örnekte, determinantı genişleteceğiz ilk satırda.
Bunun için bir işaret matrisine ihtiyacımız var: İşaretlerin sendelediğini görmek kolaydır.

Dikkat! İşaret matrisi benim kendi icadımdır. Bu konsept bilimsel değildir, görevlerin nihai tasarımında kullanılması gerekmez, yalnızca determinantı hesaplamak için kullanılan algoritmayı anlamanıza yardımcı olur.

İlk önce size tam bir çözüm vereceğim. Yine deneysel determinantımızı alıp hesaplamaları yapıyoruz:

Ve asıl soru: Bunu "üçe üç" niteleyicisinden NASIL elde ederiz:
?

Böylece, "üçe üç" determinantı, üç küçük determinantı çözmeye indirgenir veya aynı zamanda adlandırıldığı gibi, MİNOROV... Terimi hatırlamanızı tavsiye ederim, özellikle akılda kalıcı olduğu için: minör küçüktür.

Determinantın ayrıştırma yöntemi seçildiğinden ilk satırda, her şeyin onun etrafında döndüğü açıktır:

Öğeler genellikle soldan sağa (veya bir sütun seçilmişse yukarıdan aşağıya) görüntülenir.

Hadi gidelim, önce satırın ilk elemanıyla, yani birim ile ilgilenelim:

1) İşaret matrisinden ilgili işareti yazıyoruz:

2) Sonra elemanın kendisini yazarız:

3) İlk elemanın bulunduğu satırı ve sütunu DÜŞÜNCE çizin:

Kalan dört sayı, "ikişer ikişer" determinantını oluşturur. MİNOROM bu elemanın (birim).

Çizginin ikinci öğesine geçelim.

4) İşaret matrisinden ilgili işareti yazıyoruz:

5) Sonra ikinci elemanı yazıyoruz:

6) İkinci elemanın bulunduğu satırı ve sütunu DÜŞÜNCE çizin:

Peki, ilk satırın üçüncü öğesi. özgünlük yok:

7) İşaret matrisinden karşılık gelen işareti yazıyoruz:

8) Üçüncü unsuru yazıyoruz:

9) Üçüncü öğeyi içeren satır ve sütunu DÜŞÜNCE çizin:

Kalan dört sayıyı küçük bir determinantın içine yazıyoruz.

Eylemlerin geri kalanı zor değil çünkü belirleyicileri ikişer ikişer saymayı zaten biliyoruz. İŞARETLERDE KARŞILAŞMAYIN!

Benzer şekilde, determinant herhangi bir satır veya herhangi bir sütun boyunca genişletilebilir. Doğal olarak, altı durumda da cevap aynıdır.

Dörte dört determinant aynı algoritma kullanılarak hesaplanabilir.
Bu durumda, işaret matrisi artacaktır:

Aşağıdaki örnekte niteleyiciyi genişlettim dördüncü sütunda:

Ve nasıl oldu, kendin anlamaya çalış. ek bilgi Sonra olacak. Determinantı sonuna kadar çözmek isteyen varsa, doğru cevap: 18. Uygulama için, determinantı başka bir sütun veya başka bir satırla açmak daha iyidir.

Pratik yapmak, ortaya çıkarmak, hesap yapmak çok güzel ve faydalıdır. Ama büyük belirleyici için ne kadar zaman harcayacaksınız? Bir şekilde daha hızlı ve daha güvenilir olamaz mı? kendini tanımanı tavsiye ederim etkili yöntemler ikinci derste determinantların hesaplanması - Determinant özellikleri. Determinantın sırasını düşürme.

DİKKAT OLMAK!

- Baştankarayı kesin ölüme bırakın!
Özgürlük onu okşasın!
Ve gemi yelken açıyor ve reaktör kükrüyor ...
- Pash, sıçtın mı?

8. sınıftan önce cebiri sevmediğimi hatırlıyorum. Hiç beğenmedim. Beni kızdırdı. Çünkü orada hiçbir şey anlamadım.

Ve sonra her şey değişti, çünkü tek parçadan geçtim:

Genel olarak matematikte (ve özellikle cebirde), her şey yetkin ve tutarlı bir tanım sistemi üzerine kuruludur. Tanımları biliyorsunuz, özlerini anlıyorsunuz - gerisini anlamak zor olmayacak.

Bu yüzden bugünün dersinin konusu. Matrisler, determinantlar ve bunların tüm özellikleri ile kesin olarak ilgileneceğiniz birkaç ilgili soru ve tanımı ayrıntılı olarak ele alacağız.

Determinantlar, matris cebirinde merkezi bir kavramdır. Kısaltılmış çarpma formülleri gibi, ileri matematik kursunuz boyunca sizi rahatsız edecekler. O yüzden iyice okuyor, izliyor ve anlıyoruz. :)

Ve en samimi olanla başlayacağız - ve matris nedir? Ve onunla nasıl doğru çalışılır.

Matristeki indekslerin doğru düzenlenmesi

Matris sadece sayılarla dolu bir tablodur. Neo'nun bununla hiçbir ilgisi yok.

Bir matrisin temel özelliklerinden biri boyutudur, yani. içerdiği satır ve sütun sayısı. Genellikle, $ m $ satırları ve $ n $ sütunları varsa, bazı $ A $ matrisinin $ \ left [m \ times n \ right] $ boyutuna sahip olduğunu söylerler. Bunu şöyle yazıyorlar:

Veya bunun gibi:

Başka atamalar da var - hepsi öğretim görevlisinin / seminercinin / ders kitabının yazarının tercihlerine bağlı. Ancak her durumda, tüm bu $ \ left [m \ times n \ right] $ ve $ ((a) _ (ij)) $ ile aynı sorun oluşur:

Hangi endeks nelerden sorumludur? Önce satır numarası, sonra sütun? Ya da tam tersi?

Dersleri ve ders kitaplarını okurken, cevap açık görünecektir. Ancak sınavda önünüzde sadece bir problem olan bir broşür olduğunda bunalır ve aniden kafanız karışabilir.

Öyleyse, bu sorunu bir kez ve herkes için ele alalım. Başlangıç ​​olarak, okul matematik dersindeki olağan koordinat sistemini hatırlayalım:

Bir düzlemde bir koordinat sisteminin tanıtılması

Onu hatırla? Bir başlangıç ​​noktası ($ O = \ sol (0; 0 \ sağ) $) eksenleri $ x $ ve $ y $ vardır ve düzlemdeki her nokta benzersiz bir şekilde koordinatlarla belirlenir: $ A = \ sol (1; 2 \ sağ) $, $ B = \ sol (3; 1 \ sağ) $, vb.

Şimdi bu yapıyı alalım ve orijini sol üst köşede olacak şekilde matrisin yanına yerleştirelim. Neden orada? Çünkü bir kitabı açtığımızda tam olarak sayfanın sol üst köşesinden okumaya başlıyoruz - daha kolay hatırlanıyor.

Fakat eksenler nereye yönlendirilmeli? Onları tüm sanal "sayfamız" bu eksenler tarafından kapsanacak şekilde yönlendireceğiz. Doğru, bunun için koordinat sistemimizi döndürmeniz gerekiyor. Böyle bir düzenleme için mümkün olan tek seçenek:

Matris üzerinde koordinat sistemi yerleşimi

Şimdi matrisin her hücresi tek değerli koordinatlara sahiptir $ x $ ve $ y $. Örneğin, $ ((a) _ (24))) $ yazmak, $ x = 2 $ ve $ y = 4 $ koordinatlarına sahip bir öğeye atıfta bulunduğumuz anlamına gelir. Matrisin boyutları da bir çift sayı ile benzersiz bir şekilde belirlenir:

Bir Matriste Dizin Tanımlama

Sadece bu resme dikkatlice bakın. Koordinatlarla oynayın (özellikle gerçek matrisler ve determinantlarla çalışırken) - ve çok yakında en karmaşık teoremlerde ve tanımlarda bile neyin tehlikede olduğunu mükemmel bir şekilde anladığınızı anlayacaksınız.

Anlaşıldı? Pekala, aydınlanmanın ilk adımına geçelim - determinantın geometrik tanımı. :)

geometrik tanım

Her şeyden önce, determinantın yalnızca $ \ left [n \ times n \ right] $ biçimindeki kare matrisler için var olduğunu belirtmek isterim. Belirleyici, belirli kurallara göre hesaplanan ve bu matrisin özelliklerinden biri olan bir sayıdır (başka özellikler de vardır: sıra, özvektörler, ancak diğer derslerde daha fazlası).

Peki nedir bu özellik? Bunun anlamı ne? Basit:

$ A = \ sol [n \ çarpı n \ sağ] $ kare matrisinin determinantı, matrisin satırlarını bunun kenarlarını oluşturan vektörler olarak düşünürsek oluşan $ n $ boyutlu paralelyüzün hacmidir. paralelyüzlü.

Örneğin, 2x2'lik bir matrisin belirleyicisi sadece bir paralelkenarın alanıdır ve 3x3'lük bir matris için zaten 3 boyutlu bir paralelyüzün hacmidir - stereometri derslerinde tüm lise öğrencilerini çileden çıkaran.

İlk bakışta bu tanım tamamen yetersiz görünebilir. Ama hemen sonuçlara atlamayalım - örneklere bakalım. Aslında her şey basit, Watson:

Görev. Matrislerin determinantlarını bulun:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 ve 0 \\ 0 ve 3 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ dörtlü \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 ve -1 \\ 2 ve 2 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ dörtlü \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Çözüm. İlk iki niteleyici 2x2'dir. Bu nedenle, bunlar sadece paralelkenarların alanlarıdır. Onları çizelim ve alanı hesaplayalım.

İlk paralelkenar $ ((v) _ (1)) = \ left (1; 0 \ right) $ ve $ ((v) _ (2)) = \ left (0; 3 \ right) vektörleri üzerine kuruludur. $:

2x2 determinantı paralelkenarın alanıdır.

Açıkçası, bu sadece bir paralelkenar değil, aynı zamanda bir dikdörtgen. Onun alanı

İkinci paralelkenar $ ((v) _ (1)) = \ left (1; -1 \ right) $ ve $ ((v) _ (2)) = \ left (2; 2 \ right) vektörleri üzerine kuruludur. ) $. Peki ne olmuş? Bu da bir dikdörtgen:

Başka bir belirleyici 2x2

Bu dikdörtgenin kenarları (aslında vektörlerin uzunlukları) Pisagor teoremi ile kolayca hesaplanır:

\ [\ başla (hizala) & \ sola | ((v) _ (1)) \ sağ | = \ sqrt (((1) ^ (2)) + ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (2))) = \ sqrt (2); \\ & \ sol | ((v) _ (2)) \ sağ | = \ kare (((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2))) = \ kare (8) = 2 \ kare (2); \\ & S = \ sol | ((v) _ (1)) \ sağ | \ cdot \ sol | ((v) _ (2)) \ sağ | = \ kare (2) \ cdot 2 \ kare (2) = 4. \\\ bitiş (hizalama) \]

Son determinantla ilgilenmeye devam ediyor - zaten 3x3'lük bir matris var. Stereometriyi hatırlamamız gerekecek:

Belirleyici 3x3, paralel borunun hacmidir.

Beyin emici görünüyor, ancak aslında paralel yüzlü bir hacmin formülünü hatırlamak yeterli:

$ S $ tabanın alanıdır (bizim durumumuzda bu, $ OXY $ düzlemindeki paralelkenarın alanıdır), $ h $ bu tabana çizilen yüksekliktir (aslında, $ z $ - vektörünün koordinatı $ ((v) _ (3) ) $).

Paralelkenarın alanını (ayrı olarak çizdik) hesaplaması da kolaydır:

\ [\ başla (hizala) & S = 2 \ cdot 3 = 6; \\ & V = S \ cdot h = 6 \ cdot 4 = 24. \\\ bitiş (hizalama) \]

Bu kadar! Cevapları yazıyoruz.

Cevap: 3; 4; 24.

Notasyon sistemi hakkında kısa bir not. Birileri muhtemelen vektörlerin üzerindeki "okları" görmezden gelmemden hoşlanmayacaktır. İddiaya göre, bu şekilde bir vektörü bir nokta veya başka bir şeyle karıştırabilirsiniz.

Ama ciddi olalım: sen ve ben zaten yetişkin erkek ve kızlarız, bu yüzden bağlamdan ne zaman bir vektöre ve ne zaman bir noktaya geldiğini mükemmel bir şekilde anlıyoruz. Oklar, zaten matematiksel formüllerle doldurulmuş hikayeyi sadece çöpe atar.

Ve Ötesi. Prensip olarak, hiçbir şey 1x1 matrisinin determinantını düşünmemizi engellemez - böyle bir matris sadece bir hücredir ve bu hücreye yazılan sayı belirleyici olacaktır. Ama burada önemli bir not var:

Klasik cildin aksine, determinant bize sözde " yönlendirilmiş hacim", yani satır vektörlerinin dikkate alınma sırasını dikkate alarak hacim.

Ve kelimenin klasik anlamıyla hacmi elde etmek istiyorsanız, determinant modülünü almalısınız, ancak şimdi bunun için endişelenmemelisiniz - her neyse, birkaç saniye içinde herhangi bir determinantı herhangi bir işaretle saymayı öğreneceğiz. , boyutlar vb. :)

cebirsel tanım

Geometrik yaklaşımın tüm güzelliğine ve netliğine rağmen ciddi bir dezavantajı vardır: bize bu belirleyicinin nasıl hesaplanacağı hakkında hiçbir şey söylemez.

Bu nedenle, şimdi alternatif bir tanımı analiz edeceğiz - cebirsel. Bunu yapmak için kısa bir teorik eğitime ihtiyacımız var, ancak sonunda matrislerdeki her şeyi istediğimiz gibi saymamıza izin veren bir araç alacağız.

Doğru, orada yeni bir sorun ortaya çıkacak ... ama önce ilk şeyler.

Permütasyonlar ve inversiyonlar

1'den $ n $'a kadar olan sayıları bir satıra yazalım. Sonunda şöyle bir şeyle karşılaşıyorsunuz:

Şimdi (tamamen eğlence için) birkaç sayıyı değiştirelim. Bitişik olanları değiştirebilirsiniz:

Veya yapabilirsiniz - çok komşu değil:

Ve biliyor musun? Ama hiçbir şey! Cebirde bu saçmalığa permütasyon denir. Ve bir sürü özelliği var.

Tanım. $ n $ uzunluğunun permütasyonu, herhangi bir sırayla yazılmış, $ n $ farklı sayılardan oluşan bir dizedir. Genellikle, ilk $ n $ doğal sayıları dikkate alınır (yani sadece 1, 2, ..., $ n $ sayıları) ve daha sonra istenen permütasyonu elde etmek için karıştırılırlar.

Permütasyonlar, vektörlerle aynı şekilde belirtilir - sadece bir harf ve öğelerinin parantez içinde sıralı bir listesi. Örneğin: $ p = \ sol (1; 3; 2 \ sağ) $ veya $ p = \ sol (2; 5; 1; 4; 3 \ sağ) $. Harf herhangi bir şey olabilir ama $p $ olsun. :)

Ayrıca, basitlik adına, uzunluk 5 olan permütasyonlarla çalışacağız - bunlar zaten herhangi bir şüpheli etkiyi gözlemlemek için yeterince ciddiler, ancak henüz olgunlaşmamış bir beyin için 6 veya daha fazla uzunluktaki permütasyonlar kadar şiddetli değiller. İşte bu tür permütasyonların örnekleri:

\ [\ başla (hizala) & ((p) _ (1)) = \ sol (1; 2; 3; 4; 5 \ sağ) \\ & ((p) _ (2)) = \ sol (1 ; 3; 2; 5; 4 \ sağ) \\ & ((p) _ (3)) = \ sol (5; 4; 3; 2; 1 \ sağ) \\\ bitiş (hizalama) \]

Doğal olarak, $ n $ uzunluğundaki bir permütasyon $ \ left \ (1; 2; ...; n \ right \) $ kümesinde tanımlanan bir fonksiyon olarak görülebilir ve bu kümeyi ikili olarak kendi üzerine eşler. $ ((p) _ (1)) $, $ ((p) _ (2)) $ ve $ ((p) _ (3)) $'ın henüz yazılmış permütasyonlarına dönersek, oldukça yasal olarak şunu yazabiliriz:

\ [((p) _ (1)) \ sol (1 \ sağ) = 1; ((p) _ (2)) \ sol (3 \ sağ) = 2; ((p) _ (3)) \ sol (2 \ sağ) = 4; \]

$ n $ uzunluğundaki farklı permütasyonların sayısı her zaman sınırlıdır ve $ n $'a eşittir - bu, kombinatoriklerden kolayca kanıtlanabilir bir gerçektir. Örneğin, uzunluğu 5 olan tüm permütasyonları yazmak istersek, böyle permütasyonlar olacağı için tereddüt edeceğiz.

Herhangi bir permütasyonun temel özelliklerinden biri, içindeki inversiyonların sayısıdır.

Tanım. Permütasyonda inversiyon $ p = \ sol (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ...; ((a) _ (n)) \ sağ) $ - herhangi bir çift $ \ sol (((a) _ (i))); ((a) _ (j)) \ sağ) $ öyle ki $ i \ lt j $, ancak $ ((a) _ (i)) \ gt ( ( a) _ (j)) $. Basitçe söylemek gerekirse, tersine çevirme, daha büyük bir sayının daha küçük olanın solunda olduğu zamandır (mutlaka bitişik olanın değil).

$ N \ left (p \ right) $ ile $ p $ permütasyonundaki inversiyonların sayısını belirteceğiz, ancak farklı ders kitaplarındaki ve farklı yazarlardaki diğer tanımlamaları karşılamaya hazır olun - burada tek tip standartlar yoktur. Ters çevirme konusu oldukça kapsamlıdır ve buna ayrı bir ders ayrılacaktır. Şimdi görevimiz basitçe onları gerçek problemlerde nasıl sayacağımızı öğrenmek.

Örneğin, $ p = \ left (1; 4; 5; 3; 2 \ right) $ permütasyonundaki inversiyonların sayısını sayalım:

\ [\ sol (4; 3 \ sağ); \ sol (4; 2 \ sağ); \ sol (5; 3 \ sağ); \ sol (5; 2 \ sağ); \ sol (3; 2 \ sağ ). \]

Yani $ N \ sol (p \ sağ) = 5 $. Gördüğünüz gibi, bunda yanlış bir şey yok. Size hemen söyleyeyim: ayrıca, $ N \ left (p \ right) $ sayısıyla, düzgünlüğü / tekliği kadar ilgilenmeyeceğiz. Ve burada bugünün dersinin anahtar terimine sorunsuzca geçiyoruz.

belirleyici nedir

$ A = \ sol [n \ çarpı n \ sağ] $ kare matrisi verilsin. Sonra:

Tanım. $ A = \ sol [n \ çarpı n \ sağ] $ matrisinin determinantı, aşağıdaki gibi oluşan $ n!$ Terimlerinin cebirsel toplamıdır. Her terim, her satırdan ve her sütundan birer tane alınan $ n $ matris öğelerinin çarpımıdır ve (-1) ile ters çevirme sayısının kuvvetiyle çarpılır:

\ [\ sol | A \ sağ | = \ toplam \ limitler_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Determinanttaki her terim için çarpanları seçmedeki temel nokta, aynı satırda veya aynı sütunda iki faktörün olmamasıdır.

Bu nedenle, genellik kaybı olmadan, $ ((a) _ (i; j)) $ faktörlerinin $ i $ endekslerinin 1, ..., $ n $ değerlerini "geçtiğini" varsayabiliriz. , ve $ j $ endeksleri birincinin bazı permütasyonlarıdır:

Ve $ p $ permütasyonu olduğunda, $ N \ left (p \ right) $ - 'nin inversiyonlarını kolayca hesaplayabiliriz ve determinantın bir sonraki terimi hazırdır.

Doğal olarak, hiç kimse çarpanları herhangi bir terimde (veya hepsinde aynı anda - önemsiz şeylerle neden zaman harcıyorsunuz?) değiştirmeyi yasaklamıyor Ve sonra ilk endeksler de bazı permütasyonları temsil edecek. Ama sonuçta hiçbir şey değişmeyecek: $ i $ ve $ j $ endekslerindeki toplam ters çevirme sayısı, eski güzel kuralla oldukça tutarlı olan bu tür sapmalar altında pariteyi korur:

Faktörlerin yeniden düzenlenmesi sayıların çarpımını değiştirmez.

Sadece bu kuralı matris çarpımına bağlamayın - sayı çarpımının aksine, değişmeli değildir. Ama bayılırım. :)

matris 2x2

Aslında 1x1 matrisini düşünebilirsiniz - bu bir hücre olacaktır ve determinantı tahmin edebileceğiniz gibi bu hücrede yazılan sayıya eşittir. İlginç bir şey yok.

Şimdi bir 2x2 kare matris düşünelim:

\ [\ sol [\ başlangıç ​​(matris) ((a) _ (11))) & ((a) _ (12)) \\ ((a) _ (21))) & ((a) _ (22))) \\\ bitiş (matris) \ sağ] \]

İçindeki satır sayısı $ n = 2 $ olduğundan, determinant $ n! = 2! = 1 \ cdot 2 = 2 $ terim içerecektir. Bunları yazalım:

\ [\ başla (hizala) & ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (N \ sol (1; 2 \ sağ))) \ cdot ((a) _ (11))) \ cdot ((a) _ (22)) = ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (0)) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22))) = ((a) _ (11) ((a) _ (22)); \\ & ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (N \ sol (2; 1 \ sağ))) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21))) = ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1)) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21))) = ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\ bitiş (hizalama) \]

Açıkçası, iki öğeden oluşan $ \ left (1; 2 \ right) $ permütasyonunda hiçbir inversiyon yoktur, yani $ N \ left (1; 2 \ right) = 0 $. Ancak $ \ left (2; 1 \ right) $ permütasyonunda bir ters çevirme var (aslında, 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Toplamda, 2x2'lik bir matrisin determinantını hesaplamak için evrensel formül şöyle görünür:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\ ((a) _ (21))) & ((a) _ (22))) \\\ bitiş ( matris) \ sağ | = ((a) _ (11))) ((a) _ (22))) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \]

Grafiksel olarak bu, ana köşegendeki elemanların çarpımı eksi yan taraftaki elemanların çarpımı olarak temsil edilebilir:

2x2 matrisin determinantı

Birkaç örneğe bakalım:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 5 ve 6 \\ 8 ve 9 \\\ bitiş (matris) \ sağ |; \ dörtlü \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 7 ve 12 \\ 14 ve 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ |. \]

Çözüm. Her şey tek satırda sayılır. İlk matris:

Ve ikincisi:

Cevap: -3; -161.

Ancak, çok kolaydı. 3x3 matrislere bakalım - orada zaten ilginç.

3x3 Matris

Şimdi bir 3x3 kare matris düşünün:

\ [\ sol [\ başlangıç ​​(matris) ((a) _ (11))) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22))) & ((a) _ (23)) \\ ((a) _ (31) & ((a) _ (32))) & ((a) _ (33) ) \\\ bitiş (matris) \ sağ] \]

Determinantını hesaplarken, $ 3! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 = 6 $ terim elde ederiz - panik için çok fazla değil, ancak bazı kalıpları aramaya başlamak için yeterli. İlk olarak, üç elementin tüm permütasyonlarını yazalım ve her birinin inversiyonlarını hesaplayalım:

\ [\ başla (hizala) & ((p) _ (1)) = \ sol (1; 2; 3 \ sağ) \ Sağ ok N \ sol ((p) _ (1)) \ sağ) = N \ sol (1; 2; 3 \ sağ) = 0; \\ & ((p) _ (2)) = \ sol (1; 3; 2 \ sağ) \ Sağ Ok N \ sol (((p) _ (2)) \ sağ) = N \ sol (1; 3 ;2 \ sağ) = 1; \\ & ((p) _ (3)) = \ sol (2; 1; 3 \ sağ) \ Sağ Ok N \ sol (((p) _ (3)) \ sağ) = N \ sol (2; 1 ;3 \ sağ) = 1; \\ & ((p) _ (4)) = \ sol (2; 3; 1 \ sağ) \ Sağ Ok N \ sol (((p) _ (4)) \ sağ) = N \ sol (2; 3 ;1 \ sağ) = 2; \\ & ((p) _ (5)) = \ sol (3; 1; 2 \ sağ) \ Sağ Ok N \ sol (((p) _ (5)) \ sağ) = N \ sol (3; 1 ;2 \ sağ) = 2; \\ & ((p) _ (6)) = \ sol (3; 2; 1 \ sağ) \ Sağ Ok N \ sol (((p) _ (6)) \ sağ) = N \ sol (3; 2 ; 1 \ sağ) = 3. \\\ bitiş (hizalama) \]

Beklendiği gibi, $ ((p) _ (1)) $, ... $ ((p) _ (6)) $ yazılacak toplam 6 permütasyon değişecek) ve içlerindeki inversiyon sayısı 0'dan değişiyor 3'e

Genel olarak, "artı" ile üç terimimiz olacak (burada $ N \ sol (p \ sağ) $ çifttir) ve "eksi" ile üç terim daha olacak. Genel olarak, determinant aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\ ((a) _ (31))) & ((a) _ (32))) & ((a) _ (33)) \\\ son (matris) \ sağ | = \ başlangıç ​​(matris) ((a) _ (11))) ((a) _ (22)) ((a) _ (33))) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31) + ((a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32))) - \\ - ( (a) _ (13)) ((a) _ (22))) ((a) _ (31)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21))) ((a) _ (33)) - ((a) _ (11))) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\ bitiş (matris) \]

Şimdi oturup tüm bu endeksleri şiddetle tıkmayın! Anlaşılmaz sayılar yerine, aşağıdaki anımsatıcı kuralı hatırlamak daha iyidir:

Üçgen kuralı. 3x3'lük bir matrisin determinantını bulmak için, ana köşegen üzerinde ve ikizkenar üçgenlerin köşelerinde, bir kenarı bu köşegene paralel olan üç eleman ürünü eklemeniz ve ardından aynı üç ürünü, ancak yan köşegen üzerinde çıkarmanız gerekir. Şematik olarak, şöyle görünür:

3x3 Matris Belirleyici: Üçgen Kuralı

Cebirle ilgili her türlü ders kitabı ve el kitabında çizmeyi sevdikleri bu üçgenler (veya pentagramlar - istediğiniz gibi). Ancak, üzücü şeylerden bahsetmeyelim. Böyle bir belirleyiciyi daha iyi hesaplayalım - gerçek tenekeden önce ısınma için. :)

Görev. Determinantı hesaplayın:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Çözüm. Üçgen kuralına göre çalışıyoruz. Önce ana köşegen üzerindeki ve ona paralel olan elemanlardan oluşan üç terimi sayalım:

\ [\ start (align) & 1 \ cdot 5 \ cdot 1 + 2 \ cdot 6 \ cdot 7 + 3 \ cdot 4 \ cdot 8 = \\ & = 5 + 84 + 96 = 185 \\\ end (hizalama) \]

Şimdi yan köşegen ile ilgileniyoruz:

\ [\ start (align) & 3 \ cdot 5 \ cdot 7 + 2 \ cdot 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot 6 \ cdot 8 = \\ & = 105 + 8 + 48 = 161 \\\ end (hizalama) \]

Sadece ikinciyi ilk sayıdan çıkarmak için kalır - ve cevabı alırız:

Bu kadar!

Ancak, 3x3 matris belirleyicileri henüz becerinin zirvesi değil. Sırada bizi en ilginç şey bekliyor. :)

Belirleyicileri hesaplamak için genel şema

Bildiğimiz gibi $ n $ matrisinin boyutu büyüdükçe determinanttaki terim sayısı $ n'dir! $ Ve hızla büyür. Sonuçta, faktöriyel sizin için çok hızlı büyüyen bir fonksiyon değil.

Zaten 4x4 matrisler için, determinantları doğrudan (yani permütasyonlar yoluyla) dikkate almak bir şekilde pek iyi olmaz. Genelde 5x5 ve daha fazlasında sessiz kalırım. Bu nedenle, determinantın bazı özellikleri durumla bağlantılıdır, ancak bunları anlamak için biraz teorik hazırlık gereklidir.

Hazır? Gitmek!

Matris Minör Nedir?

Rastgele bir $ A = \ sol [m \ çarpı n \ sağ] $ matrisi verilsin. Not: Mutlaka kare değil. Determinantlardan farklı olarak, minörler yalnızca sert kare matrislerde var olmayan şeylerdir. Bu matriste $ 1 \ le k \ le m $ ve $ 1 \ le k \ le n $ ile birkaç (örneğin, $ k $) satır ve sütun seçelim. Sonra:

Tanım. $ k $ mertebesinden minör, seçilen $ k $ sütunlarının ve satırlarının kesişiminde ortaya çıkan kare matrisin determinantıdır. Bu yeni matrikse de minör diyeceğiz.

Böyle bir minör $ ((M) _ (k)) $ olarak gösterilir. Doğal olarak, bir matris $ k $ mertebesinde bir sürü minöre sahip olabilir. Burada, $ \ left [5 \ times 6 \ right] $ matrisi için küçük bir sipariş 2 örneği verilmiştir:

Minör oluşturmak için $ k = 2 $ sütun ve satır seçme

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi seçilen satır ve sütunların yan yana olması gerekli değildir. Ana şey, seçilen satır ve sütun sayısının aynı olmasıdır (bu, $ k $ sayısıdır).

Ayrıca başka bir tanım var. Belki biri daha çok beğenir:

Tanım. $ A = \ sol [m \ çarpı n \ sağ] $ dikdörtgen matrisi verilsin. İçindeki bir veya birkaç sütunu ve bir veya birkaç satırı sildikten sonra, $ \ sol [k \ çarpı k \ sağ] $ boyutunda bir kare matris oluşursa, determinantı minör $ ((M) _ (k)'dir. ) $ ... Ayrıca bazen matrisin kendisine küçük diyeceğiz - bu bağlamdan açıkça anlaşılacaktır.

Kedimin dediği gibi, bazen balkonda otururken miyavlamaktansa 11. kattan bir kez yemek yemek için sarınmak daha iyidir.

Örnek. Verilen bir matris

Satır 1 ve sütun 2'yi seçerek, birinci dereceden bir minör elde ederiz:

\ [((M) _ (1)) = \ sol | 7 \ sağ | = 7 \]

2, 3 satırları ve 3, 4 sütunlarını seçerek, ikinci dereceden bir minör elde ederiz:

\ [((M) _ (2)) = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 5 ve 3 \\ 6 ve 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = 5-18 = -13 \]

Ve 1, 2, 4 sütunlarının yanı sıra üç satırı da seçerseniz, üçüncü dereceden bir minör olacaktır:

\ [((M) _ (3)) = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Okuyucu için 1, 2 veya 3. sıradaki diğer küçükleri bulması zor olmayacaktır. Bu nedenle, devam edelim.

cebirsel tamamlayıcılar

"Pekala, peki bu köleler bize ne veriyor?" - muhtemelen soruyorsun. Kendi başlarına, hiçbir şey. Ancak kare matrislerde, her minörün bir "tamamlayıcısı" vardır - cebirsel bir tamamlayıcının yanı sıra ek bir minör. Ve birlikte, bu iki numara, niteleyicileri fındık gibi tıklamamıza izin verecek.

Tanım. $ A = \ sol [n \ çarpı n \ sağ] $ kare matrisi verilsin, burada minör $ ((M) _ (k)) $ seçilir. O zaman minör $ ((M) _ (k)) $ için ek minör $ A $ orijinal matrisinin bir parçasıdır ve minör $((M) _ ( k)) $:

Ek minörden minöre $ ((M) _ (2)) $

Bir noktayı açıklığa kavuşturalım: ek bir minör sadece "matrisin bir parçası" değil, bu parçanın determinantıdır.

Ek reşit olmayanlar yıldız işaretiyle belirtilir: $ M_ (k) ^ (*) $:

burada $ A \ nabla ((M) _ (k)) $ işlemi kelimenin tam anlamıyla "$ A $'dan $ ((M) _ (k)) $'daki satırları ve sütunları sil" anlamına gelir. Bu işlem matematikte genel olarak kabul görmez - Hikayenin güzelliği için kendim icat ettim. :)

Tamamlayıcı küçükler nadiren kendi başlarına kullanılır. Cebirsel tamamlayıcı olan daha karmaşık bir yapının parçasıdırlar.

Tanım. Alt tamamlayıcı $ ((M) _ (k)) $ ek küçük $ M_ (k) ^ (*) $ çarpı $ ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (S)) $ , burada $ S $, orijinal minör $ ((M) _ (k)) $'da yer alan tüm satır ve sütunların sayılarının toplamıdır.

Kural olarak, küçük $((M) _ (k)) $'ın cebirsel tümleyeni $ ((A) _ (k)) $ ile gösterilir. Bu yüzden:

\ [((A) _ (k)) = ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (S)) \ cdot M_ (k) ^ (*) \]

Zor? İlk bakışta, evet. Ama tam olarak öyle değil. Çünkü gerçekte her şey kolaydır. Bir örnek düşünelim:

Örnek. 4x4'lük bir matris verildiğinde:

İkinci dereceden bir minör seçelim

\ [((M) _ (2)) = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 3 ve 4 \\ 15 ve 16 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Kaptan Açıkça, bize 1 ve 4 numaralı satırların yanı sıra 3 ve 4 numaralı sütunların bu minörün derlenmesinde rol oynadığını ima ediyor.

Geriye $ S $ sayısını bulmak ve cebirsel tamamlayıcıyı elde etmek kalıyor. İlgili satırların (1 ve 4) ve sütunların (3 ve 4) numaralarını bildiğimiz için her şey basittir:

\ [\ başla (hizala) & S = 1 + 4 + 3 + 4 = 12; \\ & ((A) _ (2)) = ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (S)) \ cdot M_ (2) ^ (*) = ((\ sol (-1 \ sağ) ) ^ (12)) \ cdot \ sol (-4 \ sağ) = - 4 \ bitiş (hizalama) \]

Cevap: $ ((A) _ (2)) = - 4 $

Bu kadar! Aslında, ek bir minör ile cebirsel bir tamamlayıcı arasındaki tüm fark, yalnızca eksi öndedir ve o zaman bile her zaman değil.

Laplace teoremi

Ve böylece, aslında tüm bu küçüklere ve cebirsel eklemelere neden ihtiyaç duyulduğuna geldik.

Laplace teoremi, determinantın açılımı üzerine. $ k $ satırlar (sütunlar), $ 1 \ le k \ le n-1 $ ile $ \ left [n \ times n \ right] $ boyutunda bir matriste seçilsin. O zaman bu matrisin determinantı, seçilen satırlarda (sütunlarda) bulunan $ k $ sıralı küçüklerin tüm ürünlerinin cebirsel tamamlayıcıları tarafından toplamına eşittir:

\ [\ sol | A \ sağ | = \ toplam (((M) _ (k)) \ cdot ((A) _ (k))) \]

Üstelik tam olarak $C_(n)^(k)$ gibi terimler olacaktır.

Tamam, tamam: yaklaşık $ C_ (n) ^ (k) $ - Zaten bundan bahsediyorum, orijinal Laplace teoreminde böyle bir şey yoktu. Ancak hiç kimse birleştiricileri iptal etmedi ve kelimenin tam anlamıyla duruma üstünkörü bir bakış, tam olarak çok fazla terim olacağından emin olmanızı sağlayacaktır. :)

Bunu kanıtlamayacağız, ancak bu herhangi bir zorluk yaratmaz - tüm hesaplamalar eski güzel permütasyonlara ve çift / tek ters çevirmelere indirgenir. Bununla birlikte, ispat ayrı bir paragrafta sunulacak ve bugün tamamen pratik bir dersimiz var.

Bu nedenle, küçükler matrisin ayrı hücreleri olduğunda, bu teoremin özel bir durumuna geçiyoruz.

Satır ve Sütuna Göre Determinant Ayrıştırma

Şimdi tartışılacak olan, kesin olarak, tüm bu oyunun permütasyonlar, küçükler ve cebirsel eklemeler ile başlatıldığı, belirleyicilerle çalışmak için ana araçtır.

Okuyun ve keyfini çıkarın:

Laplace Teoreminin sonucu (determinantın satır/sütun açılımı). $ \ left [n \ times n \ right] $ boyutundaki matriste bir satır seçilsin. Bu satırdaki küçükler $ n $ bireysel hücreler olacaktır:

\ [((M) _ (1)) = ((a) _ (ij)), \ dörtlü j = 1, ..., n \]

Ek küçüklerin hesaplanması da kolaydır: sadece orijinal matrisi alın ve $ ((a) _ (ij)) $ içeren satırı ve sütunu silin. Bu tür küçüklere $ M_ (ij) ^ (*) $ diyelim.

Cebirsel tamamlayıcı için, $ S $ sayısına hala ihtiyaç vardır, ancak 1. dereceden küçük olması durumunda, bu sadece $ ((a) _ (ij)) $ hücresinin "koordinatlarının" toplamıdır:

Ve sonra orijinal determinant, Laplace teoremine göre $ ((a) _ (ij)) $ ve $ M_ (ij) ^ (*) $ cinsinden yazılabilir:

\ [\ sol | A \ sağ | = \ toplam \ limitler_ (j = 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (i + j)) \ cdot ((M) _ (ij))) \]

işte bu dizi genişletme formülü... Ama aynı şey sütunlar için de geçerlidir.

Bu sonuçtan birkaç sonuç çıkarılabilir:

1. Bu şema hem satırlar hem de sütunlar için eşit derecede iyi çalışır. Aslında, çoğu zaman, genişleme satır bazında değil, sütun bazında olacaktır.
2. Genişletmedeki terim sayısı her zaman tam olarak $ n $'dır. Bu, $ C_ (n) ^ (k) $'dan önemli ölçüde daha azdır ve hatta daha fazla $ n! $.
3. Bir $ \ left [n \ kere n \ sağ] $ belirleyicisi yerine, bir tane daha küçük olan birkaç belirleyiciyi saymanız gerekecek: $ \ left [\ left (n-1 \ right) \ kere \ sol (n-1) \ sağ) \ sağ ] $.

Son gerçek özellikle önemlidir. Örneğin, acımasız 4x4 determinantı yerine, şimdi birkaç 3x3 determinantı saymak yeterli olacak - bir şekilde onlarla başa çıkacağız. :)

Görev. Belirleyiciyi bulun:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Çözüm. Bu determinantı ilk satır boyunca genişletelim:

\ [\ başla (hizala) \ sola | A \ sağ | = 1 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 5 ve 6 \\ 8 ve 9 \\\ bitiş (matris) \ sağ | + & \\ 2 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ bitiş (matris) \ sağ | + & \\ 3 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 4 ve 5 \\ 7 ve 8 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = & \\\ bitiş (hizalama) \]

\ [\ başla (hizala) & = 1 \ cdot \ sol (45-48 \ sağ) -2 \ cdot \ sol (36-42 \ sağ) +3 \ cdot \ sol (32-35 \ sağ) = \\ & = 1 \ cdot \ sol (-3 \ sağ) -2 \ cdot \ sol (-6 \ sağ) +3 \ cdot \ sol (-3 \ sağ) = 0. \\\ bitiş (hizalama) \]

Görev. Belirleyiciyi bulun:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ ]

Çözüm. Bir değişiklik olsun diye bu sefer sütunlarla çalışalım. Örneğin, son sütun aynı anda iki sıfır içeriyor - açıkçası bu, hesaplamaları önemli ölçüde azaltacaktır. Şimdi nedenini göreceksiniz.

Böylece, determinantı dördüncü sütunla genişletiriz:

\ [\ başla (hizala) \ sola | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = 0 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 4)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matris) \ sağ | + & \\ +1 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (2 + 4)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matris) \ sağ | + & \\ +1 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (3 + 4)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matris) \ sağ | + & \\ +0 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (4 + 4)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ bitiş (matris) \ sağ | & \\\ bitiş (hizalama) \]

Ve sonra - ah, bir mucize! - iki terim, çarpanları "0" olduğu için hemen boşa gider. Hala kolayca başa çıkabileceğimiz iki 3x3 belirleyici var:

\ [\ başla (hizala) & \ sola | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = 0 + 0 + 1-1-1-0 = -1; \\ & \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matris) \ sağ | = 0 + 1 + 1-0-0-1 = 1. \\\ bitiş (hizalama) \]

Kaynağa dönüyoruz ve cevabı buluyoruz:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = 1 \ cdot \ sol (-1 \ sağ) + \ sol (-1 \ sağ) \ cdot 1 = -2 \]

Hepsi bu kadar. Ve 4 yok! = 24 terimin sayılması gerekmiyordu. :)

Cevap: -2

Determinantın temel özellikleri

Son problemde, bir matrisin satırlarında (sütunlarında) sıfırların varlığının, determinantın ve genel olarak tüm hesaplamaların genişlemesini nasıl büyük ölçüde basitleştirdiğini gördük. Doğal bir soru ortaya çıkıyor: Bu sıfırları, başlangıçta olmadıkları matriste bile göstermek mümkün mü?

Cevap kesindir: Yapabilmek... Ve burada determinantın özellikleri imdadımıza yetişiyor:

1. Yer yer iki satırı (sütun) değiştirirseniz determinant değişmez;
2. Bir satır (sütun) $ k $ sayısı ile çarpılırsa, determinantın tamamı da $ k $ sayısı ile çarpılır;
3. Bir satır alıp diğerinden istediğiniz kadar eklerseniz (çıkarırsanız), determinant değişmez;
4. Determinantın iki çizgisi aynıysa, ya orantılıdır ya da doğrulardan biri sıfırlarla doluysa, determinantın tamamı sıfırdır;
5. Yukarıdaki özelliklerin tümü sütunlar için de geçerlidir.
6. Bir matris transpoze edildiğinde determinant değişmez;
7. Matris çarpımının determinantı, determinantların çarpımına eşittir.

Üçüncü özellik özel bir değere sahiptir: doğru yerlerde sıfırlar görünene kadar bir satırdan (sütun) bir tane daha çıkarın.

Çoğu zaman, hesaplamalar, bir öğe hariç tüm sütunu her yerde "sıfırlamak" ve ardından determinantı bu sütun boyunca genişleterek 1 daha küçük boyutlu bir matris elde etmek için kaynar.

Bunun pratikte nasıl çalıştığını görelim:

Görev. Belirleyiciyi bulun:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ ]

Çözüm. Burada hiç sıfır yok, bu nedenle herhangi bir satırda veya sütunda "çekiç" yapabilirsiniz - hesaplamaların miktarı yaklaşık olarak aynı olacaktır. Önemsiz şeylerle zaman kaybetmeyelim ve ilk sütunu "sıfır": zaten bir hücreye sahip, bu yüzden sadece ilk satırı alın ve ikinciden 4 kez, üçüncüden 3 kez ve sondan 2 kez çıkarın.

Sonuç olarak, yeni bir matris elde edeceğiz, ancak determinantı aynı olacak:

\ [\ başla (matris) \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ başlangıç ​​(matris) \ aşağı yön \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ bitiş (matris) = \\ = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4 \ cdot 1 & 1-4 \ cdot 2 & 2-4 \ cdot 3 & 3-4 \ cdot 4 \\ 3-3 \ cdot 1 & 4-3 \ cdot 2 & 1-3 \ cdot 3 & 2-3 \ cdot 4 \\ 2-2 \ cdot 1 & 3-2 \ cdot 2 & 4-2 \ cdot 3 & 1-2 \ cdot 4 \ \\ bitiş (matris) \ sağ | = \\ = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \ bitiş (matris) \ sağ | \\\ bitiş (matris) \]

Şimdi, Piglet'in sükûnetiyle, bu determinantı ilk sütuna göre genişletiyoruz:

\ [\ başlangıç ​​(matris) 1 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (matris) \ sağ | +0 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ sol | ... \ sağ | + \\ +0 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (3 + 1)) \ cdot \ sol | ... \ sağ | +0 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (4 + 1)) \ cdot \ sol | ... \ sağ | \\\ bitiş (matris) \]

Sadece ilk terimin "hayatta kalacağı" açıktır - geri kalanında belirleyicileri bile yazmadım, çünkü yine de sıfırla çarpıldılar. Determinanttan önceki katsayı bire eşittir, yani. bunu yazmak zorunda değilsin.

Ancak determinantın üç satırından da "eksileri" çıkarabilirsiniz. Aslında, (−1) faktörünü üç kez çıkardık:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Üçgen kuralı kullanılarak zaten hesaplanabilen küçük bir 3x3 belirleyicimiz var. Ama biz onu ilk sütuna göre ayrıştırmaya çalışacağız - neyse ki son satır gururla bir tane içeriyor:

\ [\ başla (hizala) & \ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ başlangıç ​​(matris) -7 \\ -2 \\ \ uparrow \ \\ bitiş (matris) = \ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \\ & = \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \\\ bitiş (hizalama) \]

Tabii ki, yine de biraz eğlenebilir ve 2x2 matrisini satır (sütun) ile genişletebilirsiniz, ancak biz yeterliyiz, bu yüzden sadece cevabı hesaplayacağız:

\ [\ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \ sol (-1 \ sağ) \ cdot \ sol (16 + 144 \ sağ) = - 160 \ ]

Hayaller böyle yıkılır. Cevapta sadece −160. :)

Cevap: -160.

Son göreve geçmeden önce birkaç not:

1. Orijinal matris, yan köşegen etrafında simetrikti. Genişlemedeki tüm minörler de aynı kenar köşegenine göre simetriktir.
2. Açıkçası, hiçbir şeyi ayrıştıramadık, ancak ana köşegenin altında katı sıfırlar olduğunda matrisi üst üçgen forma getirdik. O zaman (bu arada, geometrik yoruma tam olarak uygun olarak) determinant, ana köşegen üzerindeki $ ((a) _ (ii)) $ - sayılarının ürününe eşittir.

Görev. Belirleyiciyi bulun:

\ [\ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ ]

Çözüm. Pekala, burada ilk satır "sıfırlanmak" için yalvarıyor. İlk sütunu alıyoruz ve diğerlerinden tam olarak bir kez çıkarıyoruz:

\ [\ başla (hizala) & \ sola | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \\ & = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \\ & = \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \\\ bitiş (hizalama) \]

İlk satırı genişletiyoruz ve sonra kalan satırlardan ortak çarpanları çıkarıyoruz:

\ [\ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \]

Yine "güzel" sayıları gözlemliyoruz, ancak zaten ilk sütunda - determinantı ona göre genişletiyoruz:

\ [\ başla (hizala) & 240 \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ bitiş (matris) \ sağ | \ başlangıç ​​(matris) \ aşağı yön \\ -1 \\ -1 \ \\ bitiş (matris) = 240 \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ end (matris) \ sağ | = \\ & = 240 \ cdot ((\ sol (-1 \ sağ)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ sol | \ başlangıç ​​(matris) 1 ve 6 \\ 3 ve 24 \\\ bitiş (matris) \ sağ | = \\ & = 240 \ cdot 1 \ cdot \ sol (24-18 \ sağ) = 1440 \\\ bitiş ( hizala) \]

Emir. Problem çözüldü.

Cevap: 1440

Belirleyicilerin hesaplanması n-inci sıra:

determinant kavramı n-inci sıra

Belirleyicilerle ilgili bu makaleyi kullanarak, aşağıdaki gibi sorunları nasıl çözeceğinizi kesinlikle öğreneceksiniz:

Denklemi çözün:

ve öğretmenlerin icat etmeyi sevdiği daha pek çok şey.

Matrisin determinantı veya basitçe determinantı, lineer denklem sistemlerinin çözümünde önemli bir rol oynar. Genel olarak, belirleyiciler bu amaç için icat edildi. "Bir matrisin determinantı" da sık sık söylendiği için burada matrislerden de söz ediyoruz. Matris değiştirilemeyen sayılardan oluşan dikdörtgen bir tablodur. Kare matris, satır sayısı ile sütun sayısının aynı olduğu bir tablodur. Sadece bir kare matrisin determinantı olabilir.

Aşağıdaki şemaya göre determinant yazmanın mantığını anlamak kolaydır. Okuldan aşina olduğunuz iki bilinmeyenli iki denklem sistemini ele alalım:

Determinantta, bilinmeyenlerin katsayıları sırayla yazılır: ilk satırda - ilk denklemden, ikinci satırda - ikinci denklemden:

Örneğin, denklem sistemi verildiğinde

daha sonra bilinmeyenli katsayılardan aşağıdaki determinant oluşturulur:

Öyleyse, bize içinde bulunan sayılardan oluşan bir kare tablo verelim. nçizgiler (yatay sıralar) ve n sütunlar (dikey satırlar). Bu sayıları kullanarak, aşağıda inceleyeceğimiz bazı kurallara göre, adı verilen bir sayı bulurlar. belirleyici n-. sıra ve aşağıdaki gibi gösterilir:

(1)

numaralar denir elementler determinant (1) (birinci indeks satır numarasını, ikincisi ise elemanın bulunduğu kesişimdeki sütun numarasını gösterir; ben = 1, 2, ..., n; J= 1, 2, ..., n). Bir niteleyicinin sırası, satır ve sütunlarının sayısıdır.

Her iki indeksin de aynı olduğu determinantın elemanlarını birleştiren hayali bir çizgi, yani. elementler

aranan ana köşegen, diğer köşegen teminat.

İkinci ve üçüncü derecelerin belirleyicilerinin hesaplanması

İlk üç mertebenin determinantlarının nasıl hesaplandığını gösterelim.

Birinci dereceden belirleyici, elemanın kendisidir, yani.

İkinci dereceden determinant aşağıdaki gibi elde edilen bir sayıdır:

, (2)

Sırasıyla ana ve yan köşegenlerdeki elemanların çarpımı.

Eşitlik (2), ana köşegen elemanlarının çarpımının kendi işaretiyle, ikincil köşegen elemanlarının çarpımının ise zıt işaretli olduğunu gösterir. .

Örnek 1.İkinci dereceden belirleyicileri hesaplayın:

Çözüm. Formül (2) ile şunları buluruz:

Üçüncü dereceden determinant aşağıdaki gibi elde edilen bir sayıdır:

(3)

Bu formülü hatırlamak zor. Ancak, denilen basit bir kural var. üçgen kuralı , bu da ifadeyi (3) çoğaltmayı kolaylaştırır. Determinantın öğelerini noktalarla ifade ederek, determinantın öğelerinin ürünlerini verenleri doğru parçalarıyla bağlarız (Şekil 1).

Formül (3), ana köşegenin öğelerinin yanı sıra, tabanları ona paralel olan iki üçgenin köşelerinde bulunan öğelerin ürünlerinin işaretleriyle alındığını gösterir; zıt - yan köşegen elemanlarının ürünleri ve buna paralel olan iki üçgenin köşelerinde bulunan elemanlar .

Şekil 1'de, üçgenlerin ana köşegeni ve karşılık gelen tabanları ve ikincil köşegen ve üçgenlerin karşılık gelen tabanları kırmızı ile vurgulanmıştır.

Determinantları hesaplarken, lisede olduğu gibi, eksi işaretli bir sayı ile eksi işaretli bir sayının çarpımının artı işaretli bir sayı ve artı işaretli bir sayının bir sayı ile çarptığını hatırlamak çok önemlidir. eksi işaretli sayı sonuç olarak eksi işaretli bir sayı verir.

Örnek 2.Üçüncü dereceden determinantı hesaplayın:

Çözüm. Üçgen kuralını kullanarak,

Belirleyicilerin hesaplanması n-inci sıra

Bir determinantın satır veya sütuna göre ayrıştırılması

Determinantı hesaplamak için n sıra, aşağıdaki teoremi bilmek ve kullanmak gerekir.

Laplace teoremi. Determinant, bir satırın elemanlarının cebirsel tümleyenleri ile çarpımlarının toplamına eşittir, yani.

Tanım... determinantta ise n-inci sıra keyfi olarak seçilir Pçizgiler ve P sütunlar ( P < n), daha sonra bu satırların ve sütunların kesişimindeki öğeler sıra matrisini oluşturur.

Bu matrisin determinantına denir. küçük orijinal belirleyici. Örneğin, bir belirleyici düşünün:

Çift sayılı satır ve sütunlardan bir matris oluşturun:

determinant

aranan küçük belirleyici. İkinci siparişin bir reşit olmayanını aldı. Birinci, ikinci ve üçüncü dereceden çeşitli küçüklerin oluşturulabileceği açıktır.

Bir elemanı alır ve kesiştiği noktada determinanttaki satır ve sütunun üzerini çizersek, elemanın küçüğü olarak adlandırılan bir minör elde ederiz ve bunu şu şekilde ifade ederiz:

.

Küçük ile çarpılırsa, burada 3 + 2, kesiştiği yerde bir öğenin bulunduğu satır ve sütun numaralarının toplamıdır, o zaman ortaya çıkan ürün denir. cebirsel tamamlayıcı eleman ve gösterilir,

Genel olarak, bir elemanın küçüğü gösterilir ve cebirsel tamamlayıcı,

(4)

Örneğin, öğelerin cebirsel tümleyenlerini ve üçüncü mertebenin determinantını hesaplıyoruz:

Formül (4) ile elde ederiz

Bir determinantı ayrıştırırken, determinantın aşağıdaki özelliği sıklıkla kullanılır. n-inci sıra:

herhangi bir satır veya sütunun öğelerine, başka bir satır veya sütunun karşılık gelen öğelerinin çarpımını sabit bir faktörle eklersek, determinantın değeri değişmez.

Örnek 4.

İlk önce, dördüncü satırın elemanlarını birinci ve üçüncü satırlardan çıkarın, sonra elimizde olacak

Elde edilen determinantın dördüncü sütunu üç eleman içerir - sıfırlar. Bu nedenle, ilk üç ürün sıfır olacağından, bu determinantı dördüncü sütunun öğeleriyle genişletmek daha karlı. Bu yüzden

ile çözümü kontrol edebilirsiniz. hesap makinesi belirleyicileri çevrimiçi .

Ve sonraki örnek, herhangi bir (bu durumda, dördüncü) mertebenin determinantının hesaplanmasının, ikinci mertebenin determinantının hesaplanmasına nasıl indirgenebileceğini gösterir.

Örnek 5. Determinantı hesaplayın:

İlk satırın elemanlarını üçüncü satırdan çıkaralım ve ilk satırın elemanlarını dördüncü satırın elemanlarına ekleyelim, o zaman

İlk sütunda, ilk hariç tüm öğeler sıfırdır. Yani, determinant zaten ilk sütunda genişletilebilir. Ama biz gerçekten üçüncü dereceden determinantı hesaplamak istemiyoruz. Bu nedenle, daha fazla dönüşüm yapacağız: ikinci satırın elemanlarını 2 ile çarpıp üçüncü satırın elemanlarına ekleyin ve ikinci satırın elemanlarını dördüncü satırın elemanlarından çıkarın. Sonuç olarak, cebirsel bir tümleyen olan determinantın kendisi birinci sütunda ayrıştırılabilir ve sadece ikinci mertebenin determinantını hesaplamamız ve işaretlerde kafa karıştırmamamız gerekecek:

Determinantın üçgen forma indirgenmesi

Köşegenlerden birinin bir tarafında bulunan tüm elemanların sıfıra eşit olduğu determinanta üçgen denir. Yan köşegen durumu, satırların veya sütunların sırası tersine çevrilerek ana köşegen durumuna indirgenir. Bu determinant, ana köşegenin elemanlarının çarpımına eşittir.

Determinantın aynı özelliği üçgen biçime dönüştürmek için kullanılır. n-bir önceki paragrafta kullandığımız -inci sıra: başka bir satır veya sütunun karşılık gelen elemanlarının çarpımını bir satır veya sütunun elemanlarına sabit bir faktörle eklersek, determinantın değeri değişmez.

ile çözümü kontrol edebilirsiniz. hesap makinesi belirleyicileri çevrimiçi .

determinant özellikleri n-inci sıra

Önceki iki paragrafta, determinantın özelliklerinden birini zaten kullanmıştık. n sıra. Bazı durumlarda, determinantın hesaplanmasını basitleştirmek için determinantın diğer önemli özelliklerini kullanabilirsiniz. Örneğin, bir determinant, iki determinantın toplamına indirgenebilir, bunlardan biri veya her ikisi uygun bir şekilde herhangi bir satır veya sütuna ayrıştırılabilir. Böyle bir basitleştirmenin birçok durumu vardır ve determinantın şu veya bu özelliğinin kullanımına bireysel olarak karar vermek gerekir.

Kare matris A Emir n sayı det eşleşebilir A(veya | A|, veya) denir belirleyici , Aşağıdaki şekilde:

Bir matrisin determinantı A onu da ara belirleyici ... Sıra matrisi için determinantı hesaplama kuralı n anlaşılması ve kullanılması oldukça zordur. Ancak, daha düşük dereceli belirleyicilere dayalı olarak daha yüksek dereceli belirleyicilerin hesaplanmasını gerçekleştirmeyi mümkün kılan yöntemler bilinmektedir. Yöntemlerden biri, determinantın belirli bir serinin elemanları (özellik 7) cinsinden genişleme özelliğine dayanmaktadır. Aynı zamanda, düşük siparişlerin (1, 2, 3) belirleyicilerinin tanıma göre hesaplanabilmesinin istendiğini not ediyoruz.

2. mertebenin determinantının hesaplanması şema ile gösterilmiştir:

Örnek 4.1. Matrislerin belirleyicilerini bulun

Üçüncü mertebenin determinantını hesaplarken, kullanımı uygundur. üçgen kuralı (veya Sarrus), sembolik olarak şu şekilde yazılabilir:

Örnek 4.2. Bir matrisin determinantını hesaplayın

detay A = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

Tüm mertebelerin determinantlarında bulunan determinantların temel özelliklerini formüle edelim. Bu özelliklerden bazılarını üçüncü mertebenin belirleyicilerini kullanarak açıklayalım.

Mülk 1 ("Satır ve Sütunların Eşitliği"). Satırları sütunlarla değiştirilirse determinant değişmeyecektir ve bunun tersi de geçerlidir. Diğer bir deyişle,

Bundan sonra, satırlar ve sütunlar basitçe çağrılacak determinant satırları .

Mülk 2 ... İki paralel satırın permütasyonu üzerine, determinant işaret değiştirir.

Mülk 3 ... İki özdeş satıra sahip bir determinant sıfıra eşittir.

Mülk 4 ... Determinantın herhangi bir satırının elemanlarının ortak çarpanı, determinantın işaretinin ötesine alınabilir.

Özellik 3 ve 4'ten şu sonucu çıkar: belirli bir serinin tüm elemanları paralel serinin karşılık gelen elemanlarıyla orantılıysa, böyle bir determinant sıfıra eşittir.

Yok canım,

Mülk 5 ... Determinantın herhangi bir satırının elemanları iki terimin toplamı ise, o zaman determinant, karşılık gelen iki determinantın toplamına ayrıştırılabilir.

Örneğin,

Mülkiyet 6. ("Determinantın temel dönüşümleri"). Bir satırın elemanlarına paralel satırın karşılık gelen elemanlarını herhangi bir sayı ile çarparak eklersek determinant değişmeyecektir.

Örnek 4.3... Kanıtla

Çözüm: Gerçekten de, 5, 4 ve 3 özelliklerini kullanarak öğreteceğiz

Determinantların diğer özellikleri, minör ve cebirsel tümleyen kavramlarıyla ilgilidir.

Küçük bazı element aij belirleyici n- NS sıraya determinant denir n- 1. sıra, seçilen elemanın kesiştiği yerde bulunan satır ve sütun silinerek orijinalinden elde edilir. belirtilen mij

cebirsel tamamlayıcı eleman aij determinant, toplamı ise artı işaretiyle alındığında minör olarak adlandırılır. ben + j bir çift sayı ve bu miktar tek ise eksi işareti ile. belirtilen Aij:

Mülk 7 ("Belirli bir serinin elemanları açısından determinantın ayrıştırılması"). Belirleyici, karşılık gelen cebirsel tamamlayıcılar tarafından belirli bir serinin elemanlarının ürünlerinin toplamına eşittir.