Bir aritmetik ilerlemenin toplamı.
Aritmetik ilerlemenin toplamı basit bir şeydir. Hem anlam hem de formül olarak. Ancak bu konuda her türlü görev var. Temelden oldukça katıya.
İlk olarak, toplamın anlamını ve formülünü ele alalım. Ve sonra karar vereceğiz. Kendi zevkiniz için.) Toplamın anlamı, böğürmek kadar basittir. Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulmak için tüm üyelerini dikkatlice toplamanız yeterlidir. Bu terimler azsa, herhangi bir formül olmadan ekleyebilirsiniz. Ama çok şey varsa veya çok varsa ... ekleme can sıkıcıdır.) Bu durumda formül kurtarır.
Toplam formülü basittir:
Formülde ne tür harflerin bulunduğunu bulalım. Bu çok şeyi netleştirecek.
sn aritmetik ilerlemenin toplamıdır. Toplama sonucu herşeyüyeler, ile ilküzerinde geçen. Bu önemli. tam olarak topla Herkes boşluklar ve atlamalar olmadan arka arkaya üyeler. Ve tam olarak, başlayarak ilk.Üçüncü ve sekizinci terimlerin toplamını veya beşten yirmiye kadar olan terimlerin toplamını bulma gibi problemlerde, formülün doğrudan uygulanması hayal kırıklığı yaratacaktır.)
bir 1 - ilk ilerlemenin üyesi. Burada her şey açık, çok basit ilk satır numarası.
bir- geçen ilerlemenin üyesi. Satırın son numarası. Çok tanıdık bir isim değil ama miktar olarak uygulandığında çok uygun. O zaman kendin göreceksin.
n son üyenin numarasıdır. Formülde bu sayının olduğunu anlamak önemlidir. eklenen üye sayısı ile çakışmaktadır.
kavramı tanımlayalım geçenüye bir. Doldurma sorusu: ne tür bir üye olacak geçen, verilirse sonsuz aritmetik ilerleme?
Kendinden emin bir cevap için, bir aritmetik ilerlemenin temel anlamını anlamanız ve ... ödevi dikkatlice okumanız gerekir!)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamını bulma görevinde, son terim her zaman görünür (doğrudan veya dolaylı olarak), hangisi sınırlandırılmalıdır. Aksi takdirde, sonlu, belirli bir miktar sadece yok.Çözüm için, ne tür bir ilerleme verildiği önemli değildir: sonlu veya sonsuz. Nasıl verildiği önemli değil: bir dizi sayıyla veya n'inci üyenin formülüyle.
En önemli şey, formülün ilerlemenin ilk teriminden numaralı terime kadar çalıştığını anlamaktır. n. Aslında, formülün tam adı şöyle görünür: bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı. Bu ilk üyelerin sayısı, yani. n, yalnızca görev tarafından belirlenir. Görevde, tüm bu değerli bilgiler genellikle şifrelenir, evet ... Ama hiçbir şey, aşağıdaki örneklerde bu sırları açığa çıkaracağız.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görev örnekleri.
Öncelikle, yardımcı bilgi:
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için görevlerdeki ana zorluk, formül öğelerinin doğru belirlenmesidir.
Ödevlerin yazarları, bu unsurları sınırsız bir hayal gücü ile şifreler.) Buradaki en önemli şey korkmamaktır. Öğelerin özünü anlamak, sadece onları deşifre etmek için yeterlidir. Birkaç örneğe ayrıntılı olarak bakalım. Gerçek bir GIA'ya dayalı bir görevle başlayalım.
1. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: an n = 2n-3.5. İlk 10 terimin toplamını bulun.
Aferin. Kolay.) Formüle göre miktarı belirlemek için neleri bilmemiz gerekiyor? ilk üye bir 1, son dönem bir, evet son terimin numarası n.
Son üye numarası nereden alınır? n? Evet, aynı yerde, durumda! toplamı bul diyor ilk 10 üye Peki hangi numara olacak geçen, onuncu üye?) İnanmayacaksınız, numarası onuncu!) Bu nedenle, yerine bir formülde yerine koyacağız 10, ama velakin n- on. Yine son üye sayısı ile üye sayısı aynıdır.
Karar vermek için kalır bir 1 ve 10. Bu, problem ifadesinde verilen n'inci terimin formülü ile kolayca hesaplanır. Nasıl yapılacağını bilmiyor musun? Bu olmadan önceki dersi ziyaret edin - hiçbir şey.
bir 1= 2 1 - 3,5 = -1,5
10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5
sn = S 10.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formülün tüm öğelerinin anlamını bulduk. Bunları değiştirmek ve saymak için kalır:
Hepsi bu kadar. Cevap: 75.
GIA'ya dayalı başka bir görev. Biraz daha karmaşık:
2. Farkı 3.7 olan bir aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde; 1 \u003d 2.3. İlk 15 terimin toplamını bulun.
Hemen toplam formülünü yazıyoruz:
Bu formül, herhangi bir üyenin değerini numarasına göre bulmamızı sağlar. Basit bir ikame arıyoruz:
15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1
Formüldeki tüm öğeleri aritmetik ilerlemenin toplamı ile değiştirmek ve cevabı hesaplamak için kalır:
Cevap: 423.
Bu arada, toplam formülü yerine bir sadece n'inci terimin formülünü değiştirin, şunu elde ederiz:
Benzerlerini verirsek, aritmetik ilerlemenin üyelerinin toplamı için yeni bir formül elde ederiz:
 |
Gördüğünüz gibi burada n'inci terim gerekli değil. bir. Bazı görevlerde bu formül çok yardımcı oluyor, evet ... Bu formülü hatırlayabilirsiniz. Ve burada olduğu gibi doğru zamanda çekebilirsiniz. Sonuçta, toplamın formülü ve n'inci terimin formülü her şekilde hatırlanmalıdır.)
Şimdi görev kısa bir şifreleme şeklinde):
3. Üçün katı olan tüm pozitif iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Nasıl! İlk üye yok, son üye yok, ilerleme yok... Nasıl yaşanır!?
Kafanızla düşünmeniz ve bir aritmetik ilerlemenin toplamının tüm unsurlarını koşuldan çıkarmanız gerekecek. İki basamaklı sayılar nedir - biliyoruz. İki sayıdan oluşurlar.) Hangi iki basamaklı sayı olur? ilk? 10, muhtemelen.) son şey iki haneli sayı? 99, tabii ki! Üç haneli olanlar onu takip edecek...
Üçün katları... Hm... Bunlar üçe tam olarak bölünebilen sayılar, işte! On üçe bölünmez, 11 bölünmez... 12... bölünebilir! Yani bir şeyler ortaya çıkıyor. Zaten sorunun durumuna göre bir dizi yazabilirsiniz:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Bu dizi aritmetik bir ilerleme mi olacak? Tabii ki! Her terim bir öncekinden kesinlikle üç kat farklıdır. Terime 2 veya 4 eklenirse sonuç, yani yeni bir sayı artık 3'e bölünmeyecek. Yığına aritmetik ilerlemenin farkını hemen belirleyebilirsiniz: d = 3. Kullanışlı!)
Böylece, bazı ilerleme parametrelerini güvenle yazabiliriz:
sayı ne olacak n son üye? 99'un ölümcül bir şekilde yanıldığını düşünen herkes ... Sayılar - her zaman üst üste gelirler ve üyelerimiz ilk üçün üzerinden atlar. Eşleşmiyorlar.
Burada iki çözüm var. Bir yol süper çalışkan içindir. İlerlemeyi, tüm sayı dizisini çizebilir ve parmağınızla terim sayısını sayabilirsiniz.) İkinci yol, düşünenler içindir. n'inci terim için formülü hatırlamanız gerekir. Formül problemimize uygulanırsa, 99'un ilerlemenin otuzuncu üyesi olduğunu elde ederiz. Şunlar. n = 30.
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için formüle bakıyoruz:
Bakıyoruz ve seviniyoruz.) Sorunun durumundan miktarı hesaplamak için gereken her şeyi çıkardık:
bir 1= 12.
30= 99.
sn = S 30.
Geriye temel aritmetik kalıyor. Formüldeki sayıları değiştirin ve hesaplayın:
Cevap: 1665
Başka bir popüler bulmaca türü:
4. Bir aritmetik ilerleme verilir:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Yirmi ile otuz dördüncü arasındaki terimlerin toplamını bulun.
Toplam formülüne bakıyoruz ve ... üzülüyoruz.) Formül, hatırlatmama izin verin, toplamı hesaplıyor birincidenüye. Ve problemde toplamı hesaplamanız gerekir yirminci yıldan beri... Formül işe yaramayacak.
Elbette tüm ilerlemeyi arka arkaya boyayabilir ve üyeleri 20'den 34'e koyabilirsiniz. Ama ... bir şekilde aptalca ve uzun bir süre çıkıyor, değil mi?)
Daha zarif bir çözüm var. Serimizi iki kısma ayıralım. ilk bölüm olacak birinci dönemden on dokuzuncu döneme kadar.İkinci kısım - yirmi ila otuz dört. Açıktır ki, birinci kısmın terimlerinin toplamını hesaplarsak S 1-19, ikinci kısımdaki üyelerin toplamına ekleyelim S 20-34, birinci terimden otuz dördüncü terime ilerlemenin toplamını elde ederiz S 1-34. Bunun gibi:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Bu toplamı bulmak için gösterir S 20-34 basit çıkarma ile yapılabilir
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Sağ taraftaki her iki toplam da dikkate alınır birincidenüye, yani standart toplam formülü onlar için oldukça uygulanabilir. Başlıyor muyuz?
İlerleme parametrelerini görev koşulundan çıkarıyoruz:
d = 1.5.
bir 1= -21,5.
İlk 19 ve ilk 34 terimlerin toplamlarını hesaplamak için 19. ve 34. terimlere ihtiyacımız olacak. Bunları 2. problemdeki gibi n'inci terimin formülüne göre sayıyoruz:
19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5
34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28
Hiçbir şey kalmadı. 34 terimin toplamından 19 terimin toplamını çıkarın:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Cevap: 262.5
Önemli bir not! Bu problemin çözümünde, kullanışlı özellik. Doğrudan hesaplama yerine neye ihtiyacın var (S 20-34), saydık Görünüşe göre neye gerek yok - S 1-19. Ve sonra belirlediler S 20-34, gereksizleri tam sonuçtan atarak. Böyle bir "kulaklı numara" genellikle kötü bulmacalardan kurtarır.)
Bu derste, bir aritmetik ilerlemenin toplamının anlamını anlamanın yeterli olduğu problemleri inceledik. Pekala, birkaç formül bilmeniz gerekiyor.)
Bir aritmetik ilerlemenin toplamı için herhangi bir sorunu çözerken, bu konudaki iki ana formülü hemen yazmanızı öneririm.
n'inci terimin formülü:
Bu formüller size sorunu çözmek için nelere bakmanız, hangi yönde düşünmeniz gerektiğini hemen söyleyecektir. Yardım eder.
Ve şimdi bağımsız çözüm için görevler.
5. Üçe bölünmeyen tüm iki basamaklı sayıların toplamını bulun.
Harika mı?) İpucu, 4. problemin notunda gizli. 3. problem yardımcı olacaktır.
6. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir: a 1 = -5.5; bir n+1 = bir n +0,5. İlk 24 terimin toplamını bulun.
Olağandışı mı?) Bu yinelenen bir formüldür. Bunu bir önceki derste okuyabilirsiniz. Bağlantıyı göz ardı etmeyin, bu tür bulmacalar genellikle GIA'da bulunur.
7. Vasya Tatil için para biriktirdi. 4550 ruble kadar! Ve en sevilen kişiye (kendime) birkaç günlük mutluluk vermeye karar verdim). Kendinizi hiçbir şeyden mahrum bırakmadan güzelce yaşayın. İlk gün 500 ruble harcayın ve sonraki her gün bir öncekinden 50 ruble daha fazla harcayın! Para bitene kadar. Vasya kaç gün mutlu oldu?
Zor mu?) Görev 2'den ek bir formül yardımcı olacaktır.
Cevaplar (dağınık): 7, 3240, 6.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)
fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Karar vermeye başlamadan önce aritmetik ilerleme problemleri, bir sayı dizisinin ne olduğunu düşünün, çünkü aritmetik ilerleme bir sayı dizisinin özel bir durumudur.
Bir sayı dizisi, her elemanı kendine ait olan bir sayı kümesidir. seri numarası . Bu kümenin elemanlarına dizinin üyeleri denir. Bir dizi öğesinin sıra numarası bir indeks ile gösterilir:
Dizinin ilk elemanı;
Dizinin beşinci elemanı;
- dizinin "nth" öğesi, yani n numaralı "sırada duran" eleman.
Bir dizi öğesinin değeri ile sıra numarası arasında bir bağımlılık vardır. Bu nedenle, bir diziyi, argümanı dizinin bir öğesinin sıra numarası olan bir işlev olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle, şunu söyleyebiliriz dizi, doğal argümanın bir fonksiyonudur:
Sıra üç şekilde belirtilebilir:
1 . Sıra, bir tablo kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda, dizinin her bir üyesinin değerini basitçe ayarladık.
Örneğin, Birisi kişisel zaman yönetimi yapmaya ve başlamak için hafta boyunca VKontakte'de ne kadar zaman harcadığını hesaplamaya karar verdi. Zamanı bir tabloya yazarak yedi öğeden oluşan bir dizi elde edecektir:
Tablonun ilk satırı haftanın gününü, ikincisi ise dakika cinsinden süreyi içerir. Pazartesi günü birinin VKontakte'de 125 dakika, yani Perşembe - 248 dakika ve yani Cuma günü sadece 15 dakika harcadığını görüyoruz.
2 . Dizi, n'inci üye formülü kullanılarak belirtilebilir.
Bu durumda, bir dizi elemanının değerinin numarasına bağımlılığı doğrudan bir formül olarak ifade edilir.
Örneğin, eğer , o zaman
Belirli bir sayıya sahip bir dizi öğesinin değerini bulmak için, öğe numarasını formülde n'inci üyenin yerine koyarız.
Argümanın değeri biliniyorsa, bir fonksiyonun değerini bulmamız gerekirse aynısını yaparız. Bunun yerine argümanın değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarız:
Örneğin, 
, o zamanlar
Bir dizide, gelişigüzel bir sayısal fonksiyonun aksine, yalnızca bir doğal sayının argüman olabileceğini bir kez daha belirtmek isterim.
3 . Dizi, n numaralı dizinin üyesinin değerinin önceki üyelerin değerine bağımlılığını ifade eden bir formül kullanılarak belirtilebilir. Bu durumda bir dizi üyesinin değerini bulmak için sadece numarasını bilmemiz yeterli değildir. Dizinin ilk üyesini veya ilk birkaç üyesini belirtmemiz gerekiyor.
Örneğin, sırayı düşünün 
, 
Bir dizinin üyelerinin değerlerini bulabiliriz sırayla, üçüncüden başlayarak:
Yani, dizinin n'inci üyesinin değerini bulmak için her seferinde bir önceki iki üyeye geri dönüyoruz. Bu sıralama yöntemine denir yinelenen, Latince kelimeden yinelenen- geri gel.
Şimdi bir aritmetik ilerleme tanımlayabiliriz. Aritmetik ilerleme, sayısal dizinin basit bir özel durumudur.
Aritmetik ilerleme ikinciden başlayarak her üyesi bir öncekine eşit olan ve aynı sayı ile toplanan sayısal bir dizi olarak adlandırılır.
numara denir aritmetik ilerlemenin farkı. Bir aritmetik ilerlemenin farkı pozitif, negatif veya sıfır olabilir.
Eğer başlık="(!LANG:d>0)">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} artan.
Örneğin 2; beş; sekiz; onbir;...
Eğer , o zaman aritmetik ilerlemenin her terimi bir öncekinden daha azdır ve ilerleme şu şekildedir: azalan.
Örneğin 2; -bir tane; -4; -7;...
Eğer , o zaman ilerlemenin tüm üyeleri aynı sayıya eşittir ve ilerleme şu şekildedir: sabit.
Örneğin, 2;2;2;2;...
Bir aritmetik ilerlemenin ana özelliği:
resme bakalım
bunu görüyoruz
, ve aynı zamanda
Bu iki eşitliği toplayarak şunu elde ederiz:
.
Denklemin her iki tarafını da 2'ye bölün:
Dolayısıyla, ikinciden başlayarak aritmetik ilerlemenin her bir üyesi, iki komşu olanın aritmetik ortalamasına eşittir:
Ayrıca, beri
, ve aynı zamanda
, o zamanlar
, ve dolayısıyla
Başlık="(!LANG:k>l) ile başlayan aritmetik ilerlemenin her üyesi">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
inci üye formülü.
Aritmetik ilerlemenin üyeleri için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğunu görüyoruz:
ve sonunda
Aldık n'inci terimin formülü.
ÖNEMLİ! Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir üyesi ve cinsinden ifade edilebilir. Bir aritmetik ilerlemenin ilk terimini ve farkını bilerek, üyelerinden herhangi birini bulabilirsiniz.
Bir aritmetik dizinin n üyesinin toplamı.
Keyfi bir aritmetik ilerlemede, uç terimlerden eşit aralıklarla yerleştirilmiş terimlerin toplamları birbirine eşittir:
n üyeli bir aritmetik dizi düşünün. Bu dizideki n üyenin toplamı şuna eşit olsun.
İlerleme şartlarını önce sayıların artan sırasına göre ve sonra azalan sıraya göre düzenleyin:
Eşleştirelim:
Her parantezdeki toplam , çift sayısı n'dir.
Biz:
Yani, bir aritmetik ilerlemenin n üyesinin toplamı aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:
Düşünmek aritmetik ilerleme problemlerini çözme.
1 . Dizi, n'inci üyenin formülü ile verilir: . Bu dizinin aritmetik bir ilerleme olduğunu kanıtlayın.
Dizinin iki bitişik üyesi arasındaki farkın aynı sayıya eşit olduğunu kanıtlayalım.
Dizinin iki bitişik üyesinin farkının sayılarına bağlı olmadığını ve bir sabit olduğunu elde ettik. Bu nedenle, tanım gereği, bu dizi aritmetik bir ilerlemedir.
2 . Aritmetik ilerleme verildiğinde -31; -27;...
a) Dizinin 31 terimini bulunuz.
b) 41 sayısının bu ilerlemeye dahil olup olmadığını belirleyin.
a) Görüyoruz ki;
İlerlememiz için n'inci terimin formülünü yazalım.
Genel olarak 
bizim durumumuzda 
, bu yüzden 
Cevap: seri ayrışır.
Örnek 3
$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ serisinin toplamını bulun.
Alt toplama limiti 1 olduğu için dizinin ortak terimi toplam işaretinin altına yazılır: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Serinin n'inci kısmi toplamını oluşturun, yani verilen sayısal dizinin ilk $n$ üyelerini toplayın:
$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9) )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))). $$
Neden $\frac(2)(15)$ değil de tam olarak $\frac(2)(3\cdot 5)$ yazdığım sonraki anlatımdan anlaşılacaktır. Ancak, kısmi bir meblağ kaydetmek bizi hedefe zerre kadar yaklaştırmadı. Sonuçta, $\lim_(n\to\infty)S_n$'ı bulmamız gerekiyor, ancak şunu yazarsak:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\sağ), $$
o zaman form olarak tamamen doğru olan bu kayıt bize özünde hiçbir şey vermeyecektir. Limiti bulmak için, kısmi toplam ifadesi önce basitleştirilmelidir.
Bunun için serinin ortak terimini temsil eden $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ kesrinin temel kesirlere ayrıştırılmasından oluşan standart bir dönüşüm vardır. Rasyonel kesirleri temel kesirlere ayırma konusuna ayrı bir konu ayrılmıştır (örneğin, bu sayfadaki 3 numaralı örneğe bakın). $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ kesirini temel kesirlere genişleterek şunu elde ederiz:
$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1)((2n+1)(2n+3))). $$
Soldaki kesirlerin paylarını eşitleyin ve doğru parçalar sonuç eşitliği:
$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$
$A$ ve $B$ değerlerini bulmanın iki yolu vardır. Parantezleri açıp terimleri yeniden düzenleyebilir veya $n$ yerine bazı uygun değerleri koyabilirsiniz. Sadece bir değişiklik için, bu örnekte ilk yoldan gideceğiz ve sonraki - $n$'ın özel değerlerini değiştireceğiz. Parantezleri genişleterek ve terimleri yeniden düzenleyerek şunu elde ederiz:
$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$
Denklemin sol tarafında, $n$'dan önce sıfır gelir. İsterseniz, eşitliğin sol tarafı netlik için $0\cdot n+ 2$ olarak gösterilebilir. Eşitliğin sol tarafında $n$'dan önce sıfır olduğundan ve eşitliğin sağ tarafında $2A+2B$ $n$'den önce olduğundan, ilk denklemi elde ederiz: $2A+2B=0$. Hemen bu denklemin her iki tarafını da 2'ye böleriz, ardından $A+B=0$ elde ederiz.
Eşitliğin sol tarafındaki serbest terim 2'ye ve eşitliğin sağ tarafındaki serbest terim $3A+B$'ye eşit olduğundan, $3A+B=2$ olur. Yani bir sistemimiz var:
$$ \left\(\begin(hizalı) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(hizalı)\sağ. $$
Kanıt, matematiksel tümevarım yöntemiyle gerçekleştirilecektir. İlk adımda, gerekli eşitliğin $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$ için geçerli olup olmadığını kontrol etmemiz gerekiyor. $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ olduğunu biliyoruz, ancak $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ifadesi $\frac() değerini verir mi? 2 )(15)$, eğer $n=1$ yerine konursa? Hadi kontrol edelim:
$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$
Böylece, $n=1$ için $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ eşitliği sağlanır. Bu, matematiksel tümevarım yönteminin ilk adımını tamamlar.
$n=k$ için eşitliğin geçerli olduğunu varsayalım, yani $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. $n=k+1$ için de aynı eşitliğin geçerli olduğunu kanıtlayalım. Bunu yapmak için $S_(k+1)$ düşünün:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$
$u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ olduğundan, $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1) )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Yukarıdaki varsayıma göre $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, dolayısıyla $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ formülü şunu alır: biçim:
$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$
Sonuç: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formülü $n=k+1$ için doğrudur. Bu nedenle, matematiksel tümevarım yöntemine göre, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ formülü N$'deki herhangi bir $n\ için doğrudur. Eşitlik kanıtlanmıştır.
Yüksek matematikteki standart bir derste, herhangi bir kanıt gerektirmeden, iptal eden terimleri "silmek" genellikle yeterlidir. Böylece, n'inci kısmi toplamın ifadesini elde ettik: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ değerini bulun:
Sonuç: Verilen seri yakınsar ve toplamı $S=\frac(1)(3)$ olur.
İkinci yol, kısmi toplam için formülü basitleştirmektir.
Açıkçası ben de bu yöntemi tercih ediyorum :) Kısmi toplamı kısaltılmış olarak yazalım:
$$ S_n=\toplam\limits_(k=1)^(n)u_k=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))). $$
$u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ olduğunu daha önce aldık, yani:
$$ S_n=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\toplam\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\sağ). $$
$S_n$ toplamı sınırlı sayıda terim içerir, dolayısıyla onları istediğimiz gibi yeniden düzenleyebiliriz. Önce $\frac(1)(2k+1)$ formunun tüm terimlerini eklemek ve ancak daha sonra $\frac(1)(2k+3)$ formunun şartlarına gitmek istiyorum. Bu, kısmi toplamı şu biçimde temsil edeceğimiz anlamına gelir:
$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\sağ). $$
Tabii ki, genişletilmiş gösterim son derece elverişsizdir, bu nedenle yukarıdaki eşitlik daha kompakt bir şekilde yazılabilir:
$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$
Şimdi $\frac(1)(2k+1)$ ve $\frac(1)(2k+3)$ ifadelerini aynı forma dönüştürüyoruz. Daha büyük bir kesir gibi görünmesini sağlamanın uygun olduğunu düşünüyorum (daha küçük bir kesir kullanabilseniz de, bu bir zevk meselesi). $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (payda ne kadar büyükse kesir o kadar küçük) olduğundan, $\frac(1)(2k+) kesirini azaltacağız 3) $ $\frac(1)(2k+1)$ biçimine.
$\frac(1)(2k+3)$ kesrinin paydasındaki ifadeyi şu şekilde sunacağım:
$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$
Ve $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ toplamı artık şu şekilde yazılabilir:
$$ \toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) )+1)=\toplam\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+) eşitliği ise 1) $ soru sormuyor, o zaman daha ileri gidelim. Sorularınız varsa, lütfen notu genişletin.
Dönüştürülen tutarı nasıl elde ettik? göster/gizle
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2() dizimiz vardı k+1)+1)$. $k+1$ yerine yeni bir değişken tanıtalım - örneğin, $t$. Yani $t=k+1$.
Eski değişken $k$ nasıl değişti? Ve 1'den $n$'a değişti. Yeni $t$ değişkeninin nasıl değişeceğini öğrenelim. $k=1$ ise $t=1+1=2$. $k=n$ ise $t=n+1$. Yani $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ ifadesi şu anda: $\sum\limits_(t=2)^(n + 1)\frac(1)(2t+1)$.
$$ \toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\toplam\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$
$\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ toplamına sahibiz. Soru: Bu meblağda hangi harfin kullanılacağının bir önemi var mı? :) Tritely $t$ yerine $k$ harfini yazarsak, şunu elde ederiz:
$$ \toplam\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\toplam\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1) eşitliği bu şekilde \frac(1)(2k+1)$ elde edilir.
Böylece, kısmi toplam aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:
$$ S_n=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\toplam\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$
$\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ve $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) toplamlarının olduğuna dikkat edin )(2k+1)$ yalnızca toplama limitlerinde farklılık gösterir. Bu limitleri aynı yapalım. $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ toplamından ilk elemanı "alarak" şunu elde ederiz:
$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$
$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ toplamından son elemanı "alarak" şunu elde ederiz:
$$\toplam\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3) ).$$
O zaman kısmi toplamın ifadesi şu şekli alacaktır:
$$ S_n=\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\toplam\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
Tüm açıklamaları atlarsanız, n'inci kısmi toplam için kısaltılmış bir formül bulma süreci şu şekilde olacaktır:
$$ S_n=\toplam\limits_(k=1)^(n)u_k =\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \toplam\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\toplam\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\sağ)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$
$\frac(1)(2k+3)$ kesirini $\frac(1)(2k+1)$ biçimine indirgediğimizi hatırlatmama izin verin. Tabii ki, tam tersini yapabilirsiniz, yani. $\frac(1)(2k+1)$ kesirini $\frac(1)(2k+3)$ olarak temsil eder. Kısmi toplam için son ifade değişmeyecektir. Bu durumda, kısmi bir meblağ bulma sürecini bir notun altına gizleyeceğim.
Farklı bir kesir şekline getirirseniz, $S_n$ nasıl bulunur? göster/gizle
$$ S_n =\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\toplam\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\toplam\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\sağ) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$
Yani $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. $\lim_(n\to\infty)S_n$ sınırını bulun:
$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$
Verilen seri yakınsar ve toplamı $S=\frac(1)(3)$ olur.
Cevap: $S=\frac(1)(3)$.
Bir dizinin toplamını bulma konusunun devamı ikinci ve üçüncü bölümlerde ele alınacaktır.